Question

已知：抛物线y=a（x-2）2+b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．

已知：抛物线y=a（x-2）2+b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．
（1）直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．

Answer 1

（1）x=2
（2）将点（0，0）代入得4a+b=0，所以y=a(x-2)^2-4a
令y=0，得x=0或4，所以B(0,0) C(4,0)
又A（2，-4a)要使△ABC为直角三角形，只可能∠A为直角
所以4a的绝对值等于2，a=1/2或-1/2
a=1/2时，b=-2
a=-1/2时，b=2
(3)首先，A,B,C,D围成正方形，则∠A=90度，且△ABC为等腰直角三角形，即XB+XC=2XA=4
对抛物线方程令y=0，由韦达定理，XB+XC=4，XBXC=4+b/a，
所以(XC-XB)^2=16-4(4+b/a)=-4b/a
又YA=b所以要使三角形ABC为等腰直角三角形，则(2YA)^2=(XC-XB)^2
则b^2=-b/a，则ab=-1

Answer 2

1、抛物线对称轴方程:y=a(x-2)^2+b对称轴为x=2
2、若抛物线经过原点0=a(-2)^2+b=4a+b, 且△ABC为直角三角形,you AB=AC,△ABC为等腰直角三角形，即B为（2b,0）所以有0=a(2b-2)^2+b，解得b=0(舍去)或是b=2，a=-1/2
以上考虑的是a＜0的情况，若a＞0，解方程舍一个值得b=-2，a=二分之一
3、以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形，必有,AB⊥AC,AB=AC,取BC中点为E,
也即AE=BE=CE,AE=|b|, 有0=a(x-2)^2+b得。x=2±√-b/a, 所以AE=2√-b/a,
于是b^2=-b/a,a+b=0
本人是根据先前几位的总结，发现第二问大多数没有第二种解
以下是2011江西中考答案部分
（1）抛物线对称轴方程x=2
（2）b=2，a=-1/2 或 b=-2，a=二分之一
（3）ab²+b=0,ab=-1

Answer 3

1,对称轴是直线x=2
2，过原点，所以4a+b=0，因为△ABC为直角三角形，可以判断为等腰直角三角形。因为顶点是（2，b），所以与x轴的交点是（2-b，0），（2+b，0），所以ab^2+b=0,因为ab＜0，所以ab+1=0，这样就可以得到a=1/2,b=-2,或则a=-1/2,b=2
3.只要满足△ABC为等腰直角三角形就可以了，也就是要满足ab^2+b=0，因为b≠0，所以a，b满足的关系式是ab+1=0