Question

已知F1,F2是双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=60度，求三角形F1PF2的面积

Answer 1

F1,F2是双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点
a^2=4,b=1,c^2=a^2+b^2=5
c=±√5
F1(-√5,0),F2(√5,0)
设点的坐标为P(x,y),且在第一象限，则
kPF1=k1=y/(x+√5)
kPF2=k2=y/(x-√5)
tan∠F1PF2=√3=k=|(k1-k2)/(1-k1k2)|
|[y/(x+√5)-y/(x-√5)]/[1-y/(x-√5)*y/(x+√5)]|=√3
|[y(x-√5)-y(x+√5)]/[(x-√5)(x+√5)-y^2]|=√3
|[-2√5y]/[x^2-5-y^2]|=√3 (1)
又点在双曲线上
x^2/4-y^2=1，x^2=4+4y^2，代入（1）得
|[-2√5y]/[4+4y^2-5-y^2]|=√3
|2√5y]/[3y^2-1]|=√3
由于假设点在第一象限且，x=0，y=1，因此去绝对值得
2√5y/（3y^2-1）=√3
3√3y^2-2√5y-√3＝0
y=(2√5±2√14)/2>0
y=(√5+√14)
所以S△F1PF2＝1/2*F1F2*y=1/2*√5*(√5+√14)