Question

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AA1的中点，点O是BD1的中点，求OM的长

大家有各类的好方法，教教我吧

Answer 1

方法一：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，又O是BD1的中点，∴O是正方体ABCD－A1B1C1D1的中心，
显然，AA1、CC1是关于点O对称的。
令CC1的中点为N。
∵M、N分别是AA1、CC1的中点，∴M、N关于点O对称，∴O是MN的中点，∴OM＝MN/2。

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴MA∥NC、AA1＝CC1，而MA＝AA1/2、NC＝CC1/2，
∴MA＝NC。
由MA∥NC、MA＝NC，得：ACNM是平行四边形，∴MN＝AC，结合证得的OM＝MN/2，得：
OM＝AC/2。

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，∴AC＝√2AB＝√2，∴OM＝√2/2。

方法二：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，∴BD＝√2AB＝√2。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥BD，
∴BD1^2＝DD1^2＋BD^2＝1＋2＝3，　∴BO^2＝（BD1/2）^2＝3/4。

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴∠D1A1M＝∠BAM＝90°，而A1M＝AM＝1/2，
∴MD1^2＝A1D1^2＋A1M^2＝1＋1/4＝5/4，　MB^2＝AB^2＋AM^2＝1＋1/4＝5/4。
∴MD1＝MB，又BO＝D1O，∴OM⊥BO，∴OM^2＝MB^2－BO^2＝5/4－3/4＝1/2，
∴OM＝√2/2。