Question

已知f(x)=cos^2x+asinx-a/4,x属于[0,∏/2]的最大值是2,求a

Answer 1

不太明白f(x)=cos^2x+asinx-a/4
是 f(x)=(cos(x))^2+a*sin(x)-a/4还是f(x)=(cos(x))^2+acsin(x)-a/4 （反正弦有时用asin 表示）
甚至你原想表示为 f(x)= cos(2x)+a*sin(x)-a/4
下面假设你的函数是第一个。
对于连续函数，最值出现在端点或极值点。
端点：f(0)= 1-a/4; f(pi/2)=3*a/4
导函数：df(x)/dx = -2sin(x)cos(x)+a*cos(x)=cos(x)[a-2sin(x)]
极值点要求：cos(x)*[ a-2sin(x)] = 0

接下来就是讨论了。
若 fmax=f(0)= 1-a/4=2 → a=-4
且df(x)/dx =cos(x)*[ 4-2sin(x)]≤0, x∈[0,pi/2]，满足条件。

若fmax=f(pi/2)= 3*a/4=2 → a=8/3
且df(x)/dx= cos(x)*[ 8/3-2sin(x)]≥ 0，满足条件。

若最值出现在极值点处。要求：cos(x)*[ a-2sin(x)] = 0
cos(x)=0，x = pi/2 是极值点，不再考虑。
另一种情况， a-2sin(x) = 0，x∈[0,pi/2] → sin(x) = a/2 可见 0<a<2
代入原函数fmax=1-sin(x)^2+a*sinx-a/4=1-a^2/4+a^2/2-a/4=2→a=(1±√17)/2 不在0<a<2内，矛盾。
综上 a=-4 或者a=8/3

思路就是这样，不知计算错了没。