Question

空间向量与立体几何题

如图矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE平行于CF，角BCF=角CEF=90度，AD=根号3，EF等于2.（1）求证：AE平行于平面DCF;(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60度？

Answer 1

1、∵四边形ABCD是矩形，

∴AB//CD，

∵四边形BEFC是梯形，

∴BE//CF，

∵AB∩BE=B，CD∩CF=C，

∴平面ABE//平面DCF，

∵AE∈平面ABE，

∴AE//平面DCF。

2、在平面CBEF上作EM⊥CF，垂足M，

EM=BC=AD=√3，EF=2，

sin<MFE=ME/EF=√3/2，

〈EFM=60°。

MF=1，

∵〈CEF=90°，

∴EF/CF=cos60°，

CF=4，

CM=CF-MF=3，

BE=CM=3

BF^2=BC^2+CF^2,

BF=√19，

延长FE，作BH⊥FE，交于H，

连结AH，

根据三垂线定理，

AH⊥FE，

则〈AHB就是二面角A-EF-C的平面角，

〈BEH=〈CFE=60°，

BH/BE=sin60°，

BH=3√3/2，

〈AHB=60°，

tan60°=AB/BH，

∴AB=√3*3√3/2=9/2，

即当AB的长为9/2时，二面角A-EF-C的大小为60度。