Question

线性代数问题 方程组的 涉及最大线性无关组 哎 通解。。。。怎么理解啊？谁会吗？

声明：下面题目中出现的a是阿尔法，通解的向量组没说几维，转秩的t符号我没有打上去

线性非齐次方程组AX=（a1，a2，a3，a4）X=a5有通解
k（﹣1，2，0，3）+（2，﹣3，1，5）
1，求方程组（a2，a3，a4）X=a5的通解
2，求方程组（a1，a2，a3，a4，a4+a5）X=a5的通解

有答案 但是看不懂。。。。。到后面分析：a2，a3，a4线性无关，是从秩的角度，，还涉及最大现行无关组。。。。。。

哪位学的明白的能用准确而易懂的语言帮我讲一下吗

Answer 1

这道题是通过已知解来推测，所以最后答案不唯一，我给个参考做法。

由给出的通解可知以下两个方程
-a1+2a2+3a4=0
2a1-3a2+a3+5a4=a5
由于通解中只有一个基础解系，因此可以知道A的秩是3（4-1），即有三个线性无关向量
而由第一个方程可以看出a1,a2,a4是线性相关的，因此a2,a3,a4是线性无关的（其他包括a1,a2,a3，a1,a3,a4也是线性无关的）
这样题目1中方程只有唯一
代入a1=2a2+3a4，得
a2+a3+11a4=a5
可知题1的解为(1,1,11)

同理，题2方程中有5列，其中a5可由a1,a2,a3,a4线性表示，a4可由a1,a2,a3线性表示,因此r（a1，a2，a3，a4，a4+a5）=r(a1,a2,a3)=3，可以知道方程基础解系为2（5-3）
代入2a1-3a2+a3+5a4=a5，得
（a1，a2，a3，a4，2a1-3a2+a3+6a4)X=a5
找到两个线性无关向量使（a1，a2，a3，a4，2a1-3a2+a3+6a4)X=0，即两个基础解系
这里我用（-1,2,0,3,0)和(-3,5,-1,-3,1)（注：此处答案不唯一，只要保证方程为0，且向量线性无关都对）
再找到一个向量使（a1，a2，a3，a4，2a1-3a2+a3+6a4)X=a5成立，即特解
这里我用（2,-3,1,5,0)（同样答案不唯一，只要等式成立都对）
就得出方程通解
k1(-1,2,0,3,0)+k2(-3,5,-1,-3,1)+(2,-3,1,5,0)（其中k1,k2为任意常数）

追问

从题目所给的 对应齐次的哪个解 直接知道 a1 a2 a4是相关的，那么怎么知道其他的 比如234是无关呢？说234要是相关，那么r（A）该小于3了 这个怎么得的？

追答

这个问题涉及到一个概念：在AX=0中，方程的基础解系数=方程元素个数-方程的秩
所以，题中基础解系是1个，即k（﹣1，2，0，3），而元素个数是4，即A的列数4列，这样就能知道r(A)=4-1=3，即A有三个线性无关向量，而由题可知-a1+2a2+3a4=0，即a1、a2、a4线性相关，那么r(a1,a2,a4)必然小于3（等于3就线性无关了），同时由r(A)=3，可知(a1,a2,a4)向量组必有两个线性无关向量，从而可以与a3组成向量组使r(A)=3。

另外，上面提问我在解答中其实已经写出来了
a4+a5=2a1-3a2+a3+6a4，可以看到a4+a5实际就是由A中各元素组成，而a2,a3,a4是A的极大线性无关组，自然就可以表示a4+a5

Answer 2

好题!!!

解: 由已知, 4-r(A)=1, 即 r(A)=3 (1)
且 -a1+2a2+3a4=0, (2)
2a1-3a2+a3+5a4=a5. (3)

由(2)知 a1=2a2+3a4 (4)
所以再由 r(A)=3 知 a2,a3,a4 线性无关 (否则r(A)<3))
所以 r(a2,a3,a4)=3
所以(a2,a3,a4)X=a5有唯一解.
由(3),(4)得 a2+a3+11a4=a5 (5)
所以 (a2,a3,a4)X=a5 的解为 (1,1,11)^T.

由(4),(5)知 a1,a5 可由a2,a3,a4线性表示
所以 a4+a5 也由a2,a3,a4线性表示
再由a2,a3,a4 线性无关知 a2,a3,a4 是 a1,a2,a3,a4,a4+a5 的一个极大无关组.
所以 r(a1,a2,a3,a4,a4+a5)=3
所以 (a1,a2,a3,a4,a4+a5)X=0 的基础解系含5-3=2个解向量.
由(2),(5)知 (-1,2,0,3,0)^T, (0,1,1,12,-1)^T是其基础解系
且 (0,1,1,11,0)^T是(a1,a2,a3,a4,a4+a5)X=a5的一个解
所以 (a1,a2,a3,a4,a4+a5)X=a5 的通解为:
(0,1,1,11,0)^T+c1(-1,2,0,3,0)^T+c2(0,1,1,12,-1)^T

追问

a2 a3 a4要是相关呢？原方程的秩怎么就小于3了？我不明白

追答

由已知, AX=0 的基础解系含1个解向量, 即有 4-r(A)=1, 即 r(A)=3 (1)
由(2)知 a1=2a2+3a4 (4)
所以再由 r(A)=3 知 a2,a3,a4 线性无关 (否则r(A)<3))

追问

老师 可能是我这款基础哪有欠缺吧 还是没懂 为什么a2 a3 a4线性相关 r（A）就小于3了呢

4-r（A）=3这个我懂 之后的就不懂了

追答

因为a1可由a2,a3,a4线性表示, 所以 r(A) = r(a1,a2,a3,a4) = r(a2,a3,a4)
若a2 a3 a4线性相关, 则 r(a2,a3,a4)<3
即有 r(A)<3.

追问

a1,a5 可由a2,a3,a4线性表示 所以 a4+a5 也由a2,a3,a4线性表示
这是为什么啊？是向量之间相互加减了吗？还是从什么看出

几大无关组怎么看啊

追答

a5 可由a2,a3,a4线性表示
a4 可由a2,a3,a4线性表示
所以a4+a5 也由a2,a3,a4线性表示

"几大无关组" 什么意思?

追问

打错了 是 极大线性无关组

追答

极大线性无关组: 线性无关, 且其余向量可由它线性表示

Answer 3

三个向量的秩为3，则这三个向量就是极大无关组（秩的定义就是线性无关的向量个数的最大值，极大无关组就是能找到秩这么多的线性无关的向量）。a4=0a2+0a3+1a4，能由a2 a3 a4表出，
a5=a2+a3+11a4，能由a2 a3 a4表出，两个式子相加就得到a4+a5能a2 a3 a4表出。说实话，你的基础知识太薄弱了，不建议考虑这么难的题。先去找一些容易的题做吧，等熟悉了这些概念再来作难题。