Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN， sin∠EMP=12/13．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域

Answer 1

1）因为BC=30，AB=50，∠ACB=90°，所以AC=40，因为PE垂直AB，E和C重合，即AC*BC=PE*AB，所以CP=PE=30*40/50=24.因为sin∠EMP=CP/CM=12/13=24/CM,所以CM=26.
2）因为PE垂直AB，即∠APE=90°，∠ACB=90°，∠CAB=∠PAE，根据三角形相似定理得△APE与△ACB相似，得PE/BC=AP/AC，即PE/30=X/40，得PE=3X/4，sin∠EMP=PE/EM=12/13,得EM=39X/48。 因为PM的平方=EM的平方-EP的平方，得MP=5X/16, 又因为EM=EN，EP垂直AB，得到MP=NP。AP+NP=BN=50，X+5X/16+Y=50。Y=50-21X/16. 因E不与A、C重合，所以X的取值范围为（0，24）Y=50-21X/16(0<x<24)．

Answer 2

】（1）∵∠ACB=90°，∴AC= = =40．
∵S= = ,
∴CP= = =24．
在Rt△CPM中，∵sin∠EMP= ，
∴ ．
∴CM= = =26．
（2）由△APE∽△ACB，得 ，即 ，∴PE= ．
在Rt△MPE中，∵sin∠EMP= ，∴ ．
∴EM= = = ．
∴PM=PN= = = ．
∵AP+PN+NB=50，∴x+ +y=50．
∴y= (0<x<32)．
（3）
第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：
①当点E在线段AC上时，

△AME∽△ENB， ．∵EM=EN，∴ ．设AP=x，由（2）知EM= ，AM= = ，NB= ．
∴
解得x1=22，x2=0（舍去）．
即AP=22．
②当点E在线段BC上时，

根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴ ．∴CE= = ．设AP=x，易得BE= ，∴CE=30 ．∴30 = ．解得x=42．即AP=42．
∴AP的长为22或42．

莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/cusan/95473.htm