Question

高中数学考试题，急急急，求解！！！

设£(X)=logαX+(1-x) (a>1) (1)判断£(x)的单调性. (2)已知m+n=4，且m>0，n>0，求mlog4m+nlog4n的最小值.
需要详细解题过程，谢谢

Answer 1

1、
f(x)=loga[x*a^(-x)]+1
因为a>1，所以loga(t)为单调递增函数，所以需判断t(x)=x*a^(-x)的单调性
t'(x)=a^(-x)+x*(-1)*a^(-x)*lna
=a^(-x)*(1-xlna)
因为a^(-x)>0
所以当1-xlna≥0，即x≤1/lna时，t'(x)≥0，t(x)递增，f(x)也递增；
当1-xlna<0，即x>lna时，t'(x)<0，t(x)递减，f(x)也递减。

2、
-(mlog4m+nlog4n)=log4[m^(-m)*n^(-n))
m^(-m)*n^(-n)≤1/2*[m^(-2m)+n^(-2n)]
当m^(-m)=n^(-n)，即m=n=2时，m^(-m)*n^(-n)为最大，最大值=1/16
所以-(mlog4m+nlog4n)的最大值=log4(1/16)=-2
所以mlog4m+nlog4n的最小值为2