Question

已知一次函数y=kx+b的图像经过点P（1 , 4），且分别与x轴、y轴交于点A、B当△AOB的面积最小时，求k、b的值

Answer 1

由函数可知，当一次函数与x轴相交时，交点A的纵坐标必为0，所以A点坐标为（-b/k,0）。同理B点坐标为(0,b)，由三角形的面积公式可知，三角形的面积为：
1/2 × -b/k的绝对值 × b 的绝对值
已知一次函数y=kx+b的图像经过点P（1 , 4），把坐标带入函数式中，则k+b=4，即b=4-k。代入上式：
1/2 ×（k-4)^2/k的绝对值=1/2 ×（k+ 16/k - 8)的绝对值 ，当k=16/k时，面积最小，即k=±4
k=4时，b=0，此时A，B两点重合，三角形面积为0。
k=-4时，b=8，三角形面积为8。
因题目未明说，所以本题该舍掉其中那个答案，楼主自己判断！

Answer 2

如果没其它限制的话，我只能说当b=0,k=4时面积最小，经过原点，面积为0，还能更小吗？

嗐, 修改时插了个图, 百度就不干了. 只好文字描述了.
相信还有一个限制条件就是K<0, 否则k如果大于0, 则K只要无限接近4, 则面积也必然无限小, 无解的.
k<0时,你做个图就明白了. 这条直线过(1,4)点,开成的大三角包含一个固定的矩形(x轴, y轴, x=1, y=4), 和两个小三角形, 面积分别是 -1/2 k 和 1/2 * 4/(-k) * 4，当k变动时，也就是直线绕着(1,4)点旋转，则一个小三角面积增大，另一个减小。直观地看，当两者相等时，应该就是总面积最小的时候, 即 -1/2 k = 1/2 * 4/(-k) * 4； 得到k=-4.

以上是鉴于你的初中水平以直观的方法求解。

如果从数学上，利用 a + b >= 2 SQRT(a*b), 就是两个大于0的数相加，一定大于等于它们积的平方根的2倍，你可以利用(a-b)的平方大于等于0推导出来。最小值就是a=b时取得, 回来上面, 两个小三角的面积和是-1/2 k = 1/2 * 4/(-k) * 4 取得

Answer 3

A(-b/k,0) B(0,b)
且k+b=4,即b=4-k
△AOB的面积=|-b²/(2k)|=|(4-k)²/(2k)|=|8/k+k/2-4|≥2当且仅当k=4时，取最小值（这个部分用到重要不等式了，初中学生不会的）
所以b=0
回头再想想，
△AOB的面积最小，就是0啊，一次函数变成正比例函数。

Answer 4

k=-1　b=5