Question

求高一数学题

求经过A(4,2).B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程

Answer 1

分析：用待定系数法，根据已知条件中给的均为已知点的坐标，设其方程为一般式，然后根据圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2，构造方程（组），解方程（组）即可得到答案．

解：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
令y=0，得x²+Dx+F=0，
∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2= -D，
令x=0得y²+Ey+F=0，
∴圆在y轴的截距之和为y1+y2= -E，
由题设x1+x2+y1+y2= -（D+E）=2，
∴D+E= -2 ①
又A（4，2），B（-1，3）在圆上，
∴16+4+4D+2E+F=0， ②
1+9-D+3E+F=0， ③
由①②③解得D= -2，E=0，F= -12．
故所求圆的方程为：x²+y²-2x-12=0．
故答案为：x²+y²-2x-12=0。

Answer 2

设：圆的方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
令x=0,则：y^2-2y0y+x0^2+y0^2-r^2=0
于是圆在y轴上的截距为：y1+y2=2y0
同样可得圆在x轴上的截距为：2x0
则有：
2x0+2y0=2
x0+y0=1
∵圆过A，B两点
∴
(4-x0)^2+(2-y0)^2=r^2
(-1-x0)^2+(3-y0)^2=r^2
两式相减可得
y0-5x0+5=0
结合
x0+y0=1
解得
x0=1,y0=0
∴r^2=(4-x0)^2+(2-y0)^2=13
∴圆的方程为(x-1)^2+y^2=13

Answer 3

设圆心坐标为(a,b)
四个截距为2，则2a+2b=2，a+b=1
所以圆心在直线x+y=1上，到点A，B的距离相等
又直线AB的垂直平分线为y-5/2=5(x-3/2)（中点为(3/2,5/2)，斜率为AB斜率-1/5的负倒数）
即5x-y-5=0
联立x+y=1,5x-y-5=0
解得x=1,y=0
圆的半径为√[(1-4)^2+(0-2)^2]=√13
所以方程为(x-1)^2+y^2=13