Question

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)
（1）判断f（x）在（-1,1）上的奇偶性，并证明
（2）令x1=1/2，xn+1=2xn/(1+xn²）证明｛f（xn）｝是等比数列，求f（xn）通项公式
（3）设Tn是｛（2n-1）/f（xn）｝前n项和，若Tn<(6-3m)/2,对n属于正整数恒成立，求m（max）

Answer 1

解：（1）
f(1/2)-f(1/2)=f((1/2-1/2)/(1-1/4))=f(0)=0
-f(x)=f(0)-f(x)=f((0-x)/(1-0))=f(-x)
∴f(x)为奇函数
（2）
∵f(xn)+f(xn)=f(xn)-f(-xn)=f((xn-(-xn))/(1-xn(-xn)))=f(2xn/(1+xn²))=f(xn+1)
∴公比q=f(xn+1)/f(xn)=2,
首项a1=f(x1)=f(1/2)=1,
∴｛f（xn）｝是首项为1，公比为2的等比数列
通项an=f(xn)=2^(n-1)
（3）
Tn=Σ(2n-1)/2^(n-1)=1+3/2+5/2^2+...+(2n-1)1/2^(n-1)
Tn/2=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^(n)
两式相减：
Tn/2=1+(3/2-1/2)+(5/2^2-3/2^2)+...+((2n-1)1/2^(n-1)-(2n-3)1/2^(n-1))-(2n-1)/2^(n)
=1+2[1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^(n)
=1+2(1/2(1-1/2^(n-2))/(1-1/2)-(2n-1)/2^n
=1+2-1/2^(n-1)-(2n-1)/2^n
Tn=6-(1+2n)/2^(n-1)
limTn=6
(6-3m)/2>=6
m<=-2
m(max)=-2

Answer 2

令x=y 得f(0)=0
令x=0 得 -f(y)=f(-y) 因此是奇函数

2 令y=-x 得 2f(x)=f(2x/(1+x^2))
因此 f(x(n+1))/f(xn)=f(2xn/(1+xn^2))/f(xn)=2f(xn)/f(xn)=2
即是等比数列 f(xn)=f(x1)*2^(n-1)=f(1/2)*2^(n-1)=2*(n-1)

3 an=（2n-1）/f（xn）

a1=1/f(x1)=1
a2=3/f(x2)=3/2
a3=5/f(x3)=5/4
a4=7/8
a5=9/16

an=(2n-1)/(2^(n-1))

从a4开始 an<1
因此Tn最大值是 a1a2a3=1*3/2*5/4=15/8

m=0 (6-3m)/2=3 >Tn
m=1 (6-3m)/2=3 /2<15/8

因此m最大是0

Answer 3

（1）
f(1/2)-f(1/2)=f((1/2-1/2)/(1-1/4))=f(0)=0
-f(x)=f(0)-f(x)=f((0-x)/(1-0))=f(-x)
所以f(x)为奇函数
（2）
f(xn)+f(xn)=f(xn)-f(-xn)=f((xn-(-xn))/(1-xn(-xn)))=f(2xn/(1+xn²))=f(xn+1)
公比q=f(xn+1)/f(xn)=2,
首项a1=f(x1)=f(1/2)=1,
｛f（xn）｝是首项为1，公比为2的等比数列
故通项an=f(xn)=2^(n-1)
（3）
对于Tn=Σ(2n-1)/2^(n-1)=1+3/2+5/2^2+...+(2n-1)1/2^(n-1)
有Tn/2=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^(n)
两式相减：
Tn/2=1+(3/2-1/2)+(5/2^2-3/2^2)+...+((2n-1)1/2^(n-1)-(2n-3)1/2^(n-1))-(2n-1)/2^(n)
=1+2[1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^(n)
=1+2(1/2(1-1/2^(n-2))/(1-1/2)-(2n-1)/2^n
=1+2-1/2^(n-1)-(2n-1)/2^n
Tn=6-(1+2n)/2^(n-1)
limTn=6
(6-3m)/2>=6
m<=-2
m(max)=-2

Answer 4

额