Question

已知函数f(x)=x|x-a|(x∈R)(1)判断f(x)的奇偶性并证明（2）求实数a的取值范围使函数

g(x)=f(x)+2x+1在R上恒为增函数

Answer 1

1)当a=0时，f(x)=x|x|，f(-x)=-x|x|=-f(x)，f(x)是奇函数；
当a≠0时，f(a)=0，f(-a)=-2a|a|≠0，f(x)非奇非偶。
(2)
①当x≥a　时，g(x)=x(x-a)+2x+1=x²+(2-a)x+1，
若g(x)为在[a，+∞)上增，则对称轴x=(a-2)/2≤a，解得a≥-2；
g(a)=2a+1
②当x<a时，g(x)=x(a-x)+2x+1=-x²+(a+2)x+1，若g(x)为在(-∞，a)上增，则对称轴x=-(a+2)/2≥a，解得a≤-2/3
③此外，要使g(x)在R上增，还须使g(x)在(-∞，a)上的最大值小于等于g(x)在[a，+∞)上的最小值，即　-a²+(a+2)a+1≤2a+1，　2a+1≤2a+1，成立
从而a 的取值范围是-2≤a≤-2/3