Question

已知抛物线y=-根号3x^2-2根号3(a-1)x-根号3(a^2-2a)与x轴交与点A(x1,0),B(x2,0),

已知抛物线y=-根号3x^2-2根号3(a-1)x-根号3(a^2-2a)与x轴交与点A(x1,0),B(x2,0),且x1小于1小于x2

1.求A，B两点坐标
2。求抛物线的顶点C，求三角形ABC的面积
3.若a是整数，P为线段AB上移动点，不与AB重合，在x轴上方作正三角形APM和正三角形BPN，记线段MN的中点Q，求抛物线解析式及线段PQ的长的取值范围

Answer 1

1.令－√3X²－2√3﹙a－1﹚X－√3﹙a²－2a﹚＝0
得X1＝－a X2＝2－a
∴A﹙－a，0﹚ B﹙2－a，0﹚
2.对称轴x＝－b／2a＝1－a 代入方程
得y＝√3 ∴C﹙1－a，√3﹚
S⊿＝AB·y／2＝2×√3／2＝√3
3.由已知 －a＜1＜2－a 且a是整数
得a＝0
∴y＝－√3X²＋2√3X
A﹙0,0﹚ B﹙2,0﹚ C﹙1,√3﹚
设p（x，0）则有M（x/2,√3X/2） N( (2+X)／2 ，(2√3+√3X)／2 )
∴Q(﹙1+X﹚／2，﹙√3+√3X﹚／2)
∴PQ²=(﹙1-X﹚/2 )²＋(﹙√3+√3X﹚/2)²
=X²＋X＋1 在0<X<2范围内单调递增
∴当X=0 PQ²=1
当X=2 PQ²=7
∴PQ的范围（1，√7）