Question

高数题目:1:为什么说"一切初等函数在其定义域内连续"错误,而要说是"在其定义区间"两者有区别吗?真

高数题目:1:为什么说"一切初等函数在其定义域内连续"错误,而要说是"在其定义区间"两者有区别吗?真搞不懂
2:还有"若函数f(x)在x0点可导,则f(x)在x0的某个邻域内连续"这句话是怎么错的?
谁对这了解的很清楚?帮忙讲一下。谢谢了

Answer 1

1。比如说，y=1/x 在定义域内不连续，因为x=0是第二类间断点。但是在每个定义区间内是连续的。
2。不用想的太复杂，你这样想，按照这句话的条件，如果函数只在某几点可导，就能推出在整个区间内连续。这不开玩笑么？
或者，掐准定义，函数在此点可导只能推出在此点连续，与其他点一点关系都没有。
同样的问题还有“若函数f(x)在x0点导数大于0,则f(x)在x0的某个邻域内单调递增”。也是错误的。

Answer 2

f(x)的定义域是指满足函数关系的x的“范围”，这里指的是一个“范围”如（a，b），对于一些特殊的基本初等函数，满足函数关系的x是由某个“范围”和某几个“点”组成的，点并不是一个范围，那么这个范围和点一起称作定义区间。简单地说，定义域是一个范围，定义域+定义域外满足函数关系的点=定于区间

Answer 3

1，有初等函数可能在某点有定义而除这点边上没定义 这样它就不存在左右连续那么它也不能说连续了
2，首先我们要明白邻域是一个区间里面包含无数个点 而在点X0可导只能是说明这点连续儿另外的无数个点就不能说明了 所以在邻域连续是错的

Answer 4

第一句话是哪儿来的？不知道你们教材上对定义域和定义区间是怎么分别的？一般的分析书上都是说初等函数在其定义域内连续。
第二题是错的。存在只在一个点可导，其余点都不连续的函数。比如f(x)=x^2D(x)，其中D(x)是Dirichlet函数，就是有理点函数值是1，无理点函数值是0的函数。用定义可以证明f在0可导，
f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/(x-0)=0，但在任意不等于0的点是不连续的。