Question

微积分中分部积分法中，课本上例题的这个替换是什么意思啊？

Answer 1

解答：
这样做，就是为了运用分部积分公式。
在积分符号后是udv，即 ∫udv。
由于分部积分是 ∫udv = uv - ∫vdu

单从udv来说，可取三种情况：
第一种情况：u = x，dv = cosxdx = dsinx，v = sinx, udv = xdsinx；也可取
第二种情况：u = xcosx，dv = dx，v = x，udv = (xcosx)dx；也可取
第三种情况：u = cosx，dv = xdx = d[(1/2)x²], udv = cosxd[(1/2)x²]

具体取哪种情况合适？这要分析一下 uv - ∫vdu 中 ∫vdu 的形式。
第一种情况：vdu = sinxdx, ∫vdu = ∫sinxdx = - cosx 轻易就积出来了。
第二种情况：vdu = xd(xcosx) = (xcosx -x²sinx)dx, ∫vdu = ∫[xcosx -x²sinx]dx
越积分越复杂，无法积出来。
第三种情况：vdu = [(1/2)x²]dcosx = -(1/2)x²sinxdx, ∫vdu = -(1/2)∫x²sinxdx
同样越积越复杂，无法积出来。

综合说明：
1、整体来说，能积出的都是特例，就这些特例，已经足够应付一般情况的应用了；
2、楼主课本上的特例，其实就是变量代换法(Substitution)，设 u = x, v = sinx
这种变量代换法，是要通过解题才能悟出技巧。
3、国内发展了这种方法，灵活迅速，称为“凑方法”。可惜，我们无人推广，
连一个英文名称也没有去取，国内因为眼高手低的人太多，活活糟蹋了很多方法。
凑方法的特色是：微分积分灵活运功用，运用中最喜欢三个函数：e^x, sinx，cosx

举几个例子：
例一：∫xe^x dx = ∫xde^x
例二：∫xsinxdx = -∫xdcosx
例三：∫lnxcosxdx = ∫lnxdsinx

楼主多练习就能有技巧了，如有疑问，请Hi我。

Answer 2

这是为了与前面的公式对照，你以后做题时不用理会这个，只要会用公式就行了。