Question

三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,PO⊥底面ABC,垂足为O,∠BPO=∠CPO=60° 求PA与底面ABC所成角。

三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,PO⊥底面ABC,垂足为O,∠BPO=∠CPO=60°，
（1） 求证：△ABC为等腰三角形。
（2）求PA与底面ABC所成角。
如果有想出几何与空间向量坐标系两种方法的、请都写上、会追加的噢~！！！

Answer 1

看插图，不是很准确，但将就点用

1、连接BO,CO。

在直角三角形BOP和COP中，

cos∠BPO=PO/PB

cos∠CPO=PO/PC

因为∠BPO=∠CPO，所以PB=PC，同理BO=CO

在直角三角形APB和APC中

PA=PA,PB=PC,∠APB=∠APC=90°

所以△APB≌△APC

所以AB=AC

2、∠PAO即为所求

因为AB=AC，BO=CO，AO=AO

所以△ABO≌△ACO

所以∠BAO=∠CAO，即AD为角平分线、中线和高（等腰，三线合一）

假设PO=a

那么就有BO=CO=a√3   PB=PC=2a

所以BC=√2PB=a2√2  BD=0.5BC=a√2

所以OD=√(BO²-BD²)=a

假设AO=x，那么就有AP²=AO²+PO²=x²+a²

AB²=AP²+BP²=x²+a²+4a²

AB²=BD²+AD²=2a²+(a+x)²

所以x²+a²+4a²=2a²+(a+x)²

即x=a

所以tan∠PAO=PO/AO=a/a=1

所以∠PAO=45°

即PA与底面ABC所成角为45°

Answer 2

1、连接BO,CO。
在直角三角形BOP和COP中，
cos∠BPO=PO/PB
cos∠CPO=PO/PC
因为∠BPO=∠CPO，所以PB=PC，同理BO=CO
在直角三角形APB和APC中
PA=PA,PB=PC,∠APB=∠APC=90°
所以△APB≌△APC
所以AB=AC
2、∠PAO即为所求
因为AB=AC，BO=CO，AO=AO
所以△ABO≌△ACO
所以∠BAO=∠CAO，即AD为角平分线、中线和高（等腰，三线合一）
假设PO=a
那么就有BO=CO=a√3 PB=PC=2a
所以BC=√2PB=a2√2 BD=0.5BC=a√2
所以OD=√(BO²-BD²)=a
假设AO=x，那么就有AP²=AO²+PO²=x²+a²
AB²=AP²+BP²=x²+a²+4a²
AB²=BD²+AD²=2a²+(a+x)²
所以x²+a²+4a²=2a²+(a+x)²
即x=a
所以tan∠PAO=PO/AO=a/a=1
所以∠PAO=45°