Question

已知函数f（x）=mx-m/x g（x）=2lnx 若x￡（1，e]，不等式f（x）－g（x）<2恒成立，求m范围

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Answer 1

不等式f（x）－g（x）=（mx-m)/x-2lnx<2,x∈（1，e]恒成立,
∴m<2x(1+lnx)/(x-1),记为h(x),
h'(x)=2[(2+lnx)(x-1)-x(1+lnx)]/(x-1)^2
=2[x-2-lnx]/(x-1)^2<0
(设F(x）=x-2-lnx,F'(x)=1-1/x>0,F(x)<=F(e)=e-3<0),
∴h(x)|min=h(e)=4e/(e-1),
∴m<4e/(e-1),为所求。

Answer 2

不等式f（x）－g（x）=（mx-m)/x-2lnx<2,x∈（1，e]恒成立,
∴m<2x(1+lnx)/(x-1),记为h(x),
h'(x)=-(2x^2lnx+2lnx+4)/(x^2-1)^2
所以h'(x）<0
故函数h(x)在（1，e】上单调递减，
m<h(x)最小值
∴h(x)|min=h(e)=4e/(e-1),
∴m<4e/(e^2-1),为所求。