Question

已知x2+y2-4x-6y+12=0，x，y∈R，求x2+y2的最值 x+y的最值，x-y的最值

Answer 1

本题应利用数形结合以及线性规划知识去解。

(1)x2+y2-4x-6y+12=0  ===>(x-2)^2+(y-3)^2=1    已知条件为一个以(2,3)为圆心半径为1的圆。

设r^2=x^2+y^2，可知此问即求一个以原点为圆心、r为半径的圆与已知圆相交时的最大与最小半径，如图，可以看出所有以r为半径的圆心为原点的圆与已知圆的交点必然在直线y=3x/2上。

解方程组：(x-2)^2+(y-3)^2=1   和y=3x/2   得：x1=2-2√13/13，y1=3-3√13/13；

      r^2(max)=x2^2+y2^2=14+2√13

      r^2(min)=x1^2+y1^2=14-2√13

(2)设z=x+y，则y=-x+z。视z为一常数，此式即为一条斜率等于-1与y轴交点为z的直线。z的最值即是与已知圆相交时此直线与y轴交点的范围。如图，相切是他们相交的临界位置，则已知圆的圆心到直线x+y-z=0的距离等于1，即：1=|2+3-z|/ √(1^2+1^2)   ===>   z1=5+√2   z2=5-√2.

    所以范围出来了吧！

(3)此问同第二问方法，请自行解决吧！

这是道数形结合的题目，能培养一定的综合能力。

Answer 2

x^2+y^2-4x-6y+12=0,
(X-2)^2+(Y-3)^2=1,园心坐标为(2,3),
过园心和原点的直线方程为Y=3/2X,则直线与园的交点有
x^2+y^2-4x-6y+12=0,Y=3/2X,
13X^2-52X+48=0,
解方程得,X1=2-2√13/13,X2=2+√13/3(不合,舍去),
Y1=3-3√13/13.
则x^2+y^2=(2-2√13/13)^2+(3-3√13/13)^2=14-2√13.