Question

高一数学集合竞赛题（在线等）

S1 S2 S3 为非空集合对于1 ，2 ，3 ，的任意一个排列i ，j ，k ，若x属于S1，y属于S2，则x-y属于S3。
求证——（1）三个集合中至少有两个相等
（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？

Answer 1

(1)若x∈ Si y∈Sj,则x-y∈S3
所以每个集合中均有非负元素.
当三个集合中的元素都为零时,命题显然成
立.否则,设S1,S2,S3中的最小正元素为a,不
妨设a∈ S1,设b 为S2,S3中最小的非负元素,不
妨设b∈ S2则b-a∈ S3.若b>0,则0≤b-a 的取法矛盾.所以b=0.任取x∈ S1因0∈S2,
故x-0=x∈S3.所以S1包含于S3 ,同理 S3包含于S1
所以S1= S2.
(2)可能.例如S1= S2={奇数},S3={偶数}显然满足条件,S1和S2与S3都无公共元素.