Question

要使函数y=1+2x+4xa在x属于（负无穷，1】上y＞0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

要使函数y=1+2^x+4^x*a在x属于（负无穷，1】上y＞0恒成立，求实数a的取值范围
【解法一】
因为y>0恒成立
即1+2^x+4^x*a>0当x∈（－∞，1]时恒成立。
分离参数a得：a>-(1+2^x)/4^x
即a>-(1/4)^x-(1/2)^x
-(1/4)^x-(1/2)^x当x∈（－∞，1]时是增函数，
其最大值是-1/4-1/2=-3/4,
∴a>-3/4.
【解法二】
y=1+2^x+a*4^x
=1+2^x+a*2^2x
=1+2^x+a*(2^x)^2
所以，设2^x=t 因为x∈（—∞，1] 所以 t∈（0，2]
则既要求 y=1+t+a*t^2 在t∈（0，2] 时 y＞0.
又因为 y=a*t^2 +t+1 的对称轴为 t0=-1/2a
1，若 a>0 即 对称轴为 t0=-1/2a < 0
则 y=1+t+a*t^2 在t∈（0，2]为单调增函数
只需y=f（t），在t=0处 > 0 即可。
所以a>0；且 1+0+a*0^2 >0 恒成立
故 a>0 时原函数在x∈（—∞，1]上y＞0恒成立。
2，若 a=0 则原函数为 y=1+2^x ＞0 恒成立.
3,若a<0 观察y=f（t）图像
则要求y=f（t），在t=0，t=2 时同时大于0方可满足要求。
即：1+0+a*0^2 >0 -----恒成立
且：1+2+a*2^2=3+4a >0 即 0>a>-3/4
综上 a>-3/4