Question

25、如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线OB折叠，使点A落在D处，BD交OC于E．

【1】求OE的长
【2】求过O,C,D三点抛物线的解析式
【3】若F为过O,D,C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t秒为何值时，直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分？

Answer 1

你好！！

解：1)取OB中点M，连接EM
∵∠EBO=∠EOB
∴EM⊥OB
∴OM/OC=OE/OB
OE=5

2）解：设D（x,y）
则x/OD=y/DE=OD/OE
∴D（16/5,12/5）
设抛物线为y=ax²+bx
则0=64a+8b, 12/5=（16/5）²a+16b/5
得a= -5/32, b=5/4
抛物线为y=-5x²/32+5x/4

3）设PF与OB交于N, 有F（4，5/2）
∵直线PF把△FOB分成△FON和△FNB面积之比为1：3或3:1的两部分
则ON:NB=1:3或ON:NB=3:1
∴N(2，-1)或N(6,-3)
∴FN:y=7x/4-9/2或y=-11x/4+27/2
∵AB：y=-4
∴FN与AB交点P为(2/7,-4)或(60/11,-4)
∴当t=2/7,或60/11时，直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分

Answer 2

1A(0,-4),B(8,-4),O(0,0),C(8,0)
过OB的直线方程LOB:Y=-X/2
设D(M.N)则AD的中点（M/2,(N-4)/2)在LOB上
（N-4)/2=-M/4
2M+N-4=0
过A,D的直线与LOB垂直
(N+4)/M=2
M=16/5,N=12/5,D(16/5,12/5)
4X+3Y-20=0
E（5，0）
OE=5
2设抛物线 y=ax^2+bx+c
将O(0,0),C(8,0),D(16/5,12/5)代人得
a= -5/32, b=5/4 c=0
y=-5x^2/32+5x/4
F（4，5/2)
3。P（t,-4)
LPF:y+4=(x-t)*（5/2+4）/(4-t)
Q((17-t)/32+5t),(t-17)/(64+10t))
当OQ/QB=1/3时直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分
t=290/39

Answer 3

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