Question

高数题两道求解！！1、f(x)在[a,b]两次可导，f(a)=f(b)=0，f ' ' (x)+f ' (x)g(x)-f(x)=0，g(x)为一给定函

1、f(x)在[a,b]两次可导，f(a)=f(b)=0，f ' ' (x)+f ' (x)g(x)-f(x)=0，g(x)为一给定函数。证明f(x)在[a,b]上恒为0.
2、f(x)在[a,b]两次可导，对任意x∈[a,b]，sgn f(x)=sgn f ' ' (x)，又f(x)在任何子区间不恒为0。证明方程f(x)=0和f ' (x)=0在区间(a,b)内都至多有一个根。
谢谢啦！！！

Answer 1

1、f(x)在(a b)上没有正的最大值，否则设f(x0)>0是正大最大值，则f'(x))=0，在方程中代入x0点得f''(x0)=f(x))>0，于是x0是极小点，矛盾。结合边界条件知f(x)的最大值小于等于0。同理可证f(x)的最小值大于等于0，因此f(x)是零函数。
2、与1的证明类似可知：f(x)在(a b)上没有正的极大值点，也没有负的极小值点。若f(x)在(a b)上有两个零点，比如f(c)=f(d)=0，则在[c d]上，f只能是零函数，否则f(x)在[c d]上有正的最大值或负的最小值。矛盾，因此f至多有一个根。若f没有根，或尽管有一个根但在根的两侧同号，则f恒大于0或恒小于0，则f"恒大于0或恒小于0，f'严格单调，因此f'最多有一个根。若f有一个根x0，且f(x)<0，x位于(a x0)，f(x)>0，x位于(x0 b)，则f''先小于0后大于0，f'先严格递减后严格递增，若f'(x)在(a x0)上有零点x1，则f'(x1)=0，由f'的递减性知f'(x)<0，x>x1时，故f(x)在（x1 x0）上递减，f(x1）>f(x0)=0，但f(x1)<0，矛盾。因此f'(x)在(a x0)上无零点。其余情况类似可证。
后面的证明可能比较繁，你可以自己找找有没有好的证明方法。

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

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