Question

平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0),动点P满足直线PA,PB的斜率的乘积是定值-3/4

（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）点P是轨迹上任意一点（异于A,B两点），直线l的方程是x=4，直线PA,PB与直线l分别交于M,N问x轴上是否存在定点E使得ME直于NE，若存在求出点E的坐标

Answer 1

（1）设p点（x,y),则PA直线斜率kA=y/(x+2),PB直线斜率KB=y/(x-2),所以，KA*KB=-3/4,得到P点方程C为：x^2/4+y^2/3=1（即椭圆方程）
（2）设p点位（x0,y0),则直线LPA为：y=(y0/(x0+2))*(x+2)
直线LPB为：y=(y0/(x0-2))*(x-2)
设E点位（x',0),则KME=6y0/((x0+2)*(4-x')) , KNE=2y0/((x0-2)*(4-x'))
两条互相垂直的直线，斜率的乘积为-1，则KME*KNE=-1,得到：12y0^2=(x0^2-4)*(4-x')^2
又因为P在椭圆方程C上，这满足x0^2/4+y0^2/3=1，把这两个方程相联立，得到：(4-x')^2=9
所以得到E为（1,0）或者（7,0）

Answer 2

(1)
设p点坐标为（x，y）
则pa的斜率为y/（x-2）
（x≠2）
则pb的斜率为y/（x+2）
（x≠-2）
由题意直线pa,pb的斜率之积为
-3/4
得y^2/（x^2-4）=-3/4
（x≠±2）
整理得动点p
的轨迹
c
方程为：3x^2+4y^2=12
（-2
0时，t＝1/m+m≥2√（m*(1/m)）＝2，
当且仅当m＝1/m，即m＝1(m=-1舍去)时取等号
当m<0时，t＝1/m+m＝－（-1/m+(-m)）≤-2√（-m*(-1/m)）=-2
当且仅当-m＝-1/m，即m＝-1(m=1舍去)时取等号
所以t≥2或t≤-2
-1/2≤1/t≤1/2
-1/8≤0.25（1/t）≤1/8
即-1/8≤k≤1/8
由于曲线c中-2
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