Question

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,E为CD中点,EF‖AB交BC于点F,EF=EC,连接DF. (1)试说明梯形ABCD是等腰梯形

（2）若AD=1, BC=3, DC=根号2,试判断△DCF的形状
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P（不与点F重合），使△PCD是等腰三角形。若存在，请直接写出PB点长；若存在，请说明理由

Answer 1

1、条件不足，无法判断ABCD是等腰梯形，但是根据条件能判断DF垂直于BC。△DCF是直角三角形。
2、在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P（不与点F重合），使△PCD是等腰三角形，是存在的。条件不足。

Answer 2

：解：（1）证明：∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形，
证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=12CD，
∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴CF=12（BC-AD）=1，
∵DC=2，
∴由勾股定理得：DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四种情况：
∵DF⊥BC，
∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，
即PF=1，
∴PB=1；
当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=2；
当PC=CD=2（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3-2；
当PC=CD=2（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3+2．
故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+2．（每个1分）

Answer 3

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．
（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=2，试判断△DCF的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．
考点：等腰梯形的判定；等腰三角形的判定．
分析：（1）根据在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形进行判断；
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，
（3）分四种情况，分别计算．
解答：解：（1）证明：∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形，
证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=12CD，
∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴CF=12（BC-AD）=1，
∵DC=2，
∴由勾股定理得：DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：
∵DF⊥BC，
∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，
即PF=1，
∴PB=1；
当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=2；
当PC=CD=2（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3-2；
当PC=CD=2（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3+2．
故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+2．（每个1分）
点评：考查等腰梯形的判定，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定．