Question

lim(x→0)（n-2/n+1)^n=e^-3是怎么算来的？求高手教教我~

Answer 1

①n趋近于无穷的时候 括号里面的值是趋近于1的 还记得书本上1的无穷次的那个模型么 就是带呗 你将括号里的一提取出来 就变为 （1-3/n+1)^n 然后再用于e的多少多少次等价就出来了 或者可以用洛必达定理
②（n-2/n+1)^n也等于e^nln（n-2/n+1)次 只需计算e的指数 那么e的指数是nln（n-2/n+1)
即为ln（n-2/n+1)与1/n的商 上下都趋近于0 运用洛必达求导 可得结果 或者泰勒公式什么的 随便你怎么做拉

Answer 2

lim(n->0) [(n-2)/(n+1)]^n
= lim(n->0) [(n+1-3)/(n+1)]^n
= lim(n->0) [1 - 3/(n+1)]^n
= lim(n->0) [1 + 1/(-(n+1)/3)]^n
= lim(n->0) [1 + 1/(-(n+1)/3)]^[-(n+1)/3) * -3/(n+1) * n]
= e^lim(n->0) -3n/(n+1)
= e^[-3lim(n->0) 1/(1+1/n)]
= e^[-3*1/(1+0)]
= e^(-3)

追问

请问下，您做这类型题目的思路是什么哈~

追答

对这样的题目 [(ax+b)/(cx+d)]^x
先化为[1 + 1/((cx+d)/A)]^[(cx+d)/A]形式，这部分的极限=e
因为lim(y->∞) (1+1/y)^y = e，而y = (cx+d)/A
指数也可以求极限的
lim(y->∞) (1+1/y)^(y*n/m) = [lim(y->∞) (1+1/y)^y]^(n/m) = e^lim(y->∞) (n/m)

Answer 3

lim(n→0)(（n-2)/(n+1))^n=lim(n→0)(1+(-3/(n+1)))^((n+1)/(-3)*(-3)n/(n+1))
=lim(n→0)e^(-3n/(n+1))=e^-3