Question

在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+6与x轴交于点A,与Y轴交于点B,BC⊥AB交x轴于点C （1）求△ABC的面积

（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角三角形BDE，连结EA,求直线EA的解析式；
（3）如图3.点E是Y轴正版轴上一点，且∠OAE=30º，AF平分∠OAE,点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，是判断是否存在这样的点M、N,使得OM+NM的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明。

Answer 1

(1)解:直线Y=X+6与X轴交于A(-6,0),与Y轴交于B(0,6).
∴OA=OB=6,∠OAB=∠OBA=45°;
∵BC⊥AB.
∴∠OCB=45°=∠OBC,OC=OB=6.S⊿ABC=AC*OB/2=12*6/2=36.
(2)解:作EF⊥X轴于F.
∵∠EDB=∠DOB=90°.
∴∠EDF+∠BDO=∠OBD+∠BDO=90°,则:∠EDF=∠OBD;
又∵∠EFD=∠DOB=90°;DE=DB.
∴⊿EFD≌⊿DOB(AAS),EF=DO;且DF=BO=AO.
∴AF=DO=EF,得∠EAF=45°=∠BAO,故EA⊥AB.
设直线EA交Y轴于M,则OM=OA=6,即M为(0,-6),A为(-6,0).
利用A,M两点的坐标可求得直线EA的解析式为:y= -x-6.
(3)【按照目前的题目内容，可使点N与点O重合；作OH垂直AF于H，再使点M与H重合，则此时OM+NM最小，且最小值为OH。
不过，本人以为这不应该是出题者的本意，这类题通常是考查轴对称图形的性质、两点之间线段最短或者垂线段最短的性质。请楼主认真核对一下原题，我们再做交流。】

追问

在第三问中，我知道作OP⊥AE交直线AF于点M，再作PN⊥X轴，此时OM+NM的值为最小，不知后面应如何证明

追答

哦,是我原来把"OM+NM"错看成"ON+OM"了.
其实这道题考查的知识点是:(1)轴对称(2)点到直线,垂线段最短.
【楼主说的不对,准确地说是:作OP⊥AE于P,交直线AF于M;作MN⊥X轴于N. 】
解:根据题意可知,角平分线AF所在的直线为∠EAO的对称轴.
在射线AE上取点N关于AF的对称点P,则MP=MN.
∴OM+NM=OM+PM.故只要令OM+PM最小即可.
根据"点到直线上所有连线中,垂线段最短"的性质可知:
OM+N'M最小等于点O到AE的距离!
∠OAE=30°,故点O到AE的距离=(1/2)AO=3,即OM+NM最小为3.
(下面证明一下为何此时OM+NM最小,请点击看大图)

Answer 2

（3）这题的方法是利用初一的对称来做的，如一条公路上修一座候车室到AB两村距离之和最短的问题，结合本题特点易知使OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N’之间线段的长.当点N运动时，ON’最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长. ∠OAE=30°，OA=6，所以OM+NM的值为3.