Question

讨论函数f（x）=|4x³-18²+27|，x∈（0，2）的单调性，并确定它在区间[0，2]上的最大值与最小值

注意有绝对值哦，我对这个有点不理解。
但是我知道答案是最大值为27最小值为0.
求详解

Answer 1

1如果不会解三次方程，解一：
考察函数
y=4x^3-18x^2+27
y'=12x^2-36x
在区间[0，2]上y'≤0,函数单调递减，
所以y取最大值27，最小值-13
现在考察函数
y1=│y│,显然y1取到最大值27，最小值0
令y=0,得在区间[0，2]上解3/2，
所以所求的函数在[0，3/2，）上单调递减，
在（3/2，2]上单调递增。
2如果知道求解三次方程，解二：
x∈[0，2]，
f(x)=4│(x-x1)(x-x2)(x-x3)│
其中x1=（3-3√3）/2<0,x2=(3+√3）/2>2,
x3=3/2
所以当0《x《3/2时,
f(x)=4x^3-18x^2+27,f'(x)=12x^2-36x《0，函数单调递减，
当3/2《x《2时，
f(x)=-4x^3-18x^2=27,f'(x)=-12x^2+36x》0，函数单调递增，
故当x取3/2时得到最小值0，当x取0时得到最大值27。

Answer 2

先去掉绝对值
g(x)=4x³-18x²+27
求导g(x)=12x²-36x
令g(x)=0 得x=0或3，这就是g(x)的极值
然后画出大致图像，再把y<0的图像沿x轴翻上去，这就是f（x）的图像了
由图可知在区间[0，2]中，f(x)在[0,3/2]单调递减，[3/2,2]中单调递增
再由单调性求出f(0)=27 , f(3/2)=0 , f(2)=13
所以最大值为27，最小值为0

Answer 3

先忽略绝对值，求导后画图在翻上去，有图有真相

Answer 4

这个不难