Question

如图所示，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN平行于BC,设MN∠BCA的平分线于点E，

交∠BCA的外角平分线于点F（1）试说明：EO=FO;(2)当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。

Answer 1

证明：1、
∵EC平分∠BCA
∴∠ECA＝∠ECB＝∠BCA/2
∵FC平分∠ACG
∴∠FCA＝∠FCG＝∠ACG/2
∴∠ECA+∠FCA＝∠BCA/2+∠ACG/2＝（∠BCA+∠ACG）/2
∵∠BCA+∠ACG＝180
∴∠ECA+∠FCA＝180/2＝90
∴∠ECF＝∠ECA+∠FCA＝90
∵MN∥BC
∴∠OFC＝∠FCG
∴∠OFC＝∠FCA
∴OF＝OC
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠ECB
∴∠OEC＝∠ECA
∴OE＝OC
∴OE＝OF
2、当O在AC中点时，AECF为矩形
∵O为AC中点
∴AO＝CO
∵OE＝OF，∠AOE＝∠COF
∴△AOE全等于△COF
∴AE＝CF
同理可证AF＝CE
∴平行四边形AECF
∵∠ECF＝90
∴矩形AECF

Answer 2

1因为已知CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECA，因为MN//BC，所以∠BCE=∠CEO，所以∠CEO=∠ECA，所以EO=CO，因为CF平分∠OCI，所以∠OCF=∠FCI，因为MN//BC，所以∠OFC=∠FCI，所以∠OFC=∠OCF，所以CO=FO，所以EO=FO
2当点O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形
因为由上题以证明EO=FO，若o运动到AC中点 则AO=CO，则AC、EF互相平分，则四边形AECF为平行四边形，因为已知CF平分∠OCI，CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECO，∠OCF=∠FCI，所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI，因为∠BCI=180°，所以∠ECO+∠OCF=90°，所以平行四边形AECF为矩形

Answer 3

CE和CF是角平分线
角OCF=角DCF

角OCE=角ECB
所以角ECF=90度
MN//BC
所以角DCF=角OFC=OCF
角OCE=角OEC=角ECB
所以边OE=OC=OF（等腰3角行）
（2）

因为O点无论怎么移动，OF=OC=OE都成立，角ECF=90度
反证法，当AECF是矩形时
所以AC=EF（矩形中对角线相等）
AC=AO+OC
EF=EO+OF
OF=OC=OE
所以得出OF=OC=OE=AO
所以当o是AC中点时候是矩形

Answer 4

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

Answer 5

在BC的延长线上任取一点G。
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE、∠OFC＝∠GCF，　又∠OCE＝∠BCE、∠OCF＝∠GCF，
∴∠OEC＝∠OCE、∠OFC＝∠OCF，∴EO＝CO、OF＝CO，∴EO＝OF。

当O为AC的中点时，AECF为平行四边形。　证明如下：
由第一个问题的结论，有：EO＝OF，又AO＝CO，∴AECF是平行四边形。［对角线互相平分］
∴当O运动到AC的中点时，四边形AECF是平行四边形。

∵AECF是正方形，　∴AC＝√2AE、∠ACE＝45°。
∵∠BCE＝∠ACE，　∴∠ACB＝2∠ACE＝90°。
又AE/BC＝√6/2，　∴AC/BC＝√2AE/BC＝√3，　∴tan∠B＝AC/BC＝√3，　∴此时∠B＝60°。