Question

求极限的问题，推不出来，帮忙推下，谢谢

已知x1＝3，x（n＋1）＝√(3＋xn），先证明极限存在，然后求极限。答案中直接就写了：由数学归纳法可得（1＋√13）／2＜x≤3，但是由数学归纳法是怎么推出（1＋√13）／2这个数据来的呢？不懂，求解释，需要步骤，谢谢了，感激不尽啊！！！
很晚了，跪求啊，速度给答案啊，明天考试，今晚就想解决，谢了谢了！解决了再加分！

Answer 1

这种递推关系的数列，都有一个叫做特征方程的，如对于齐次线性递推关系X(n+2)=3X(n+1)-2X(n)这样的，其特征方程为x^2=3x-2，解得x1=1，x2=2。
再如非齐次的递推关系如本题，其特征方程为x=√(3＋x)，解得x=(1＋√13)/2.于是有x1=3>(1＋√13)/2.假设xn>(1＋√13)/2,则x(n+1)=√(3＋xn）>√[3＋(1＋√13)/漏薯2]=√[(7＋√13)/2]=√[(14＋2√13)/4]=(1＋√13)/2.故根据数学归纳法有xn>(1＋√13)/2成立。
至于xn≤3很好证的。X1=3≤3成立。假设xn≤3成立，则x(n+1)=√(3＋xn）≤√(3＋3）=√6<3成返辩者立。
于是有(1＋√13)/2<xn≤3成立。
而x(n+1)-x(n)=√(3＋xn）-xn=√(3＋xn）-[√(3＋xn）]^2+3=
-[√(3＋xn)-1/2]^2+13/4=-[x(n+1)-1/2]^2+13/4
因x(n+1)>(1＋√13)/2，故x(n+1)-1/2>√13/2，则x(n+1)-x(n)=-[x(n+1)-1/2]^2+13/4<-13/4+13/4=0
因此x(n)为严格单调递减数列。由于xn>(1＋√13)/2有下界，故lim xn （n->∞）必有极限。于是由lim xn =lim x(n+1) 可得 lim xn =lim x(n+1)=lim √(3＋xn）=A,得方程A= √(3＋A） 解得A=(1＋√13)/2 即为所求极限。
亲，不信灶粗帮不了你，呵呵