Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，联结MN交边AB于点P

（1） 求证：MP=NP
（2） 若设AM=x, BP=y,求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域。
（3） 当△BPN是等腰三角形时，求AM的长。已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，

Answer 1

解：(1)如图，过点M作ME ∥CB，交AB于点E，

∵ △ABC等腰直角三角形，∠A=∠CBA=45°，

∴∠A=∠MEA=45°，MA=ME，

∵AM=BN，

∴BN=ME，

∵∠PME=∠BNP，∠MPE=∠BPN，

∴△MEP≌△BNP（AAS），

∴MP=NP；

（2)∵AM=x，BP=y，AC=BC=4，

     ∴AE=√2 X，AB=4√2，BP=EP=y，

   ∴y=1/2（AB-AE）

      =1/2（4√2-√2 X）

      =2√2 -√2 / 2  X，

    ∵点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），

    ∴x 的最值范围是：0＜X＜4；

（3）当△BPN是等腰三角形时，

    ∵BP=BN=AM，即 x = y，

    ∴x = 2√2－√2/2 X，

      ∴AM = x = 4/（1+√2）=4√2 - 4。

Answer 2

(1)如图，过点M作ME/CB，交AB于点E，
△ABC等腰直角三角形，∠A=∠CBA=45°，
∠A=∠MEA=45°，
∠PME=∠BNP，∠MPE=∠BPN，
△MEP≌△BNP（AAS），
MP=NP；
（2)∵AM=x，BP=y，AC=BC=4，
∴AE=√2 X，AB=4√2，BP=EP=y，
∴y=1/2（AB-AE）
=1/2（4√2-√2 X）
=2√2 -√2 / 2 X，
∵点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），
∴x 的最值范围是：0＜X＜4；

Answer 3

解：(1)如图，过点M作ME/CB，交AB于点E，
△ABC等腰直角三角形，∠A=∠CBA=45°，
∠A=∠MEA=45°，，
，
∠PME=∠BNP，∠MPE=∠BPN，
△MEP≌△BNP（AAS），
MP=NP；
（2)∵AM=x，BP=y，AC=BC=4，
∴AE=√2 X，AB=4√2，BP=EP=y，
∴y=1/2（AB-AE）
=1/2（4√2-√2 X）
=2√2 -√2 / 2 X，
∵点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），
∴x 的最值范围是：0＜X＜4；
（3）当△BPN是等腰三角形时，
∵BP=BN=AM，即 x = y，
∴x = 2√2－√2/2 X，
∴AM = x = 4/（1+√2）=4√2 - 4。

Answer 4

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与（1）过M向AB引垂线，垂足E，过N向AB的延长线引垂线，垂足F 易知△ABC