Question

无穷积分一个求解

Answer 1

被积函数随着n趋于无穷趋于f(x)={x<1时为e^(-x);x=1时为1/(e^x+1);x>1时为0}。对任意的e>0，被积函数在[0 1-e]和[1+e +无穷）上一致收敛于f(x)，故当n充分大时，有|积分（从0到1-e）[1/(e^x+x^n)-1/(e^x)]dx|<e，|积分（从1+e到无穷）1/(e^x+x^n)dx|<e，于是有|积分（从0到无穷）dx/(e^x+x^n)-积分（从0到无穷）f(x)dx|<=|积分（从0到1-e）[1/(e^x+x^n)-1/(e^x)]dx|+|积分（从1-e到1+e）[1/(e^x+x^n)-f(x)]dx|+|积分（从1+e到无穷）1/(e^x+x^n)dx|<=e+10e+e=12e，其中第二项是因为积分区间长度为2e，被积函数的绝对值不超过5。由定义有极限号和积分号可以交换。于是极限值易得。