Question

如图1是由四块全等的含有30°角的直角三角板拼成的正方形，已知里面小正方形的边

如图1是由四块全等的含有30°角的直角三角板拼成的正方形，已知里面小正方形的边长为√3-1．如图2，取其中的三块直角三角板拼成等边三角形ABC，再以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求等边△ABC的面积；
（2）求BC边所在直线的解析式；
（3）将第四块直角三角板与△CDE重合，然后绕点E按逆时针方向旋转60°后得△EC'D'，问点C'是否落在直线BC上？请你作出判断，并说明理由．

Answer 1

解答，如图：

Answer 2

解：（1）如图，作高CF，
由已知得 OB=1，OD=3，BD=2，
由正三角形性质得 BF=12AB=32，
∴ CF=32-(32)2=323．
∴ S△ABC=12×3×323=943．
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（2）由已知，C点坐标是（0， 3），B点坐标是（-1，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ {b=3-k+b=0，
解之 {b=3k=3，
∴直线BC的解析式为 y=3x+3．
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（3）点C′落在直线BC上．
如图，作C′H⊥AB于H，
由∠C′OB=60°及OC′=1，得，
∴C′的坐标是（ -12，123），满足 y=3x+3
∴点C′落在BD上．

Answer 3

解：（1）如图，作高CF，
由已知得$OB=1，OD=\sqrt{3}，BD=2$，
由正三角形性质得$BF=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$，
∴$CF=\sqrt{{3^2}-{{（{\frac{3}{2}}）}^2}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{9}{4}\sqrt{3}$．

（2）由已知，C点坐标是（0，$\sqrt{3}$），B点坐标是（-1，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{-k+b=0}\end{array}\right.}\right.$，
解之$\left\{{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{k=\sqrt{3}}\end{array}\right.}\right.$，
∴直线BC的解析式为$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$．

（3）点C′落在直线BC上．
如图，作C′H⊥AB于H，
由∠C′OB=60°及OC′=1，得，
∴C′的坐标是（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}\sqrt{3}$），满足$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$
∴点C′落在BD上．

Answer 4

小正方形是根号3还是根号3-1

Answer 5

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