如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E．
（1）写出图中与△CAE相似的所有三角形；（2）求证：DI=DB；（3）求证：DI2=DE•DA．...
（1）写出图中与△CAE相似的所有三角形；
（2）求证：DI=DB；
（3）求证：DI2=DE•DA． 展开
（2）求证：DI=DB；
（3）求证：DI2=DE•DA． 展开
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(1)△CAE∽△DBE，△CAE∽△DAB
(2)连接BD
∵ I是△ABC的内心，∴∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠EBI
由弧CD→∠CAD=∠CBD，
∴ ∠DBI=∠CBD+∠EBI=∠CAD+∠ABI=∠BAD+∠ABI
又∠DIB是△ABI的外角，
∴∠DIB=∠BAD+∠ABI，即∠DBI=∠DIB
∴DI=DB
(3)由(1)知，△DBE∽△DAB→DE/BD=BD/DA→BD^2=DDE•DA, DI=DB
∴DI^2=DE•DA
(2)连接BD
∵ I是△ABC的内心，∴∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠EBI
由弧CD→∠CAD=∠CBD，
∴ ∠DBI=∠CBD+∠EBI=∠CAD+∠ABI=∠BAD+∠ABI
又∠DIB是△ABI的外角，
∴∠DIB=∠BAD+∠ABI，即∠DBI=∠DIB
∴DI=DB
(3)由(1)知，△DBE∽△DAB→DE/BD=BD/DA→BD^2=DDE•DA, DI=DB
∴DI^2=DE•DA
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