Question

已知圆O：x²+y²=1和点M（4,2）

<1>过点M向圆O引切线L求直线L的方程
<2>求以M为圆心，且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的圆M的方程
<3>设P是<2>中圆M上任一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQ/PR为定值？若存在，举出一例，若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）由⊙O：x2+y2=1得到圆心O（0，0）半径r=1，
设切线l方程为y-2=k（x-4），
易得
|4k-2|

√
k2+1

=1，解得k=
8±

√
19

15
，
∴切线l方程为y-2=
8±

√
19

15
(x-4)；
（Ⅱ）圆心M到直线y=2x-1的距离d=
|5|

√
1+4

=

√
5

，
设圆的半径为r，则r2=22+(

√
5

)2=9，
∴⊙M的方程为（x-4）2+（y-2）2=9；

（Ⅲ）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，
根据题意可得PQ=

√
x2+y2-1

，
∴

√
x2+y2-1

√
(x-a)2+(y-b)2

=λ，
即x2+y2-1=λ2（x2+y2-2ax-2by+a2+b2）（*），
又点P在圆上∴（x-4）2+（y-2）2=9，
即x2+y2=8x+4y-11，代入（*）式得：
8x+4y-12=λ2[（8-2a）x+（4-2b）y+（a2+b2-11）]，
若系数对应相等，则等式恒成立，∴

λ2(8-2a)=8
λ2(4-2b)=4
λ2(a2+b2-11)=-12

，
解得a=2，b=1，λ=

√
2

或a=
2
5
，b=
1
5
，λ=

√
10

3
，
∴可以找到这样的定点R，使得
PQ
PR
为定值．
如点R的坐标为（2，1）时，比值为

√
2

；点R的坐标为(
2
5
，
1
5
)时，比值为

√
10

3
．

Answer 2

为什么？我不懂。