Question

如何证明在圆中有一点，过这个点所截得的最短弦长是连接圆心和这点的直线的垂线

我是要证明，如何证明

Answer 1

如图，P是圆O中的一点，AB是经过P点且垂直于OP的弦。CD是经过P点的任意弦

作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OB，OD

设圆O的半径为R。则 OB=OD=R

在直角三角形OPQ中，OP是斜边，所以OP>OQ

因为，OP垂直于AB，OQ垂直于CD，所以，P、Q分别是AB、CD的中点

在直角三角形OPB中，BP²=R²-OP²

在直角三角形OQD中，DQ²=R²-OQ²

所以，DQ²-BP²=OP²-OQ²=(OP-OQ)(OP+OQ)

因为 OP>OQ

所以，(OP-OQ)(OP+OQ)>0

所以，DQ²-BP²>0

(DQ+BP)(DQ-BP)>0

而DQ+BP>0

因此 DQ-BP>0

1/2CD-1/2AB>0

CD>AB

则CD的任意性，可得AB小于任意一条经过P的弦

所以，命题得证。

Answer 2

圆中任何一点，过该点所截得的最短弦长就是连接圆心和该点的直线的垂线

Answer 3

证明：
若过此点做另一条弦K短于此弦L，则该点必不为圆心到弦K的距离，则圆心到该点的线段长大于圆心到弦K的距离。
由圆的性质知，距圆心距离越小则弦越长，所以得证