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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB延长线上一点,且BD=BC,CE⊥CD交AB于E. (1)求证:△ACE∽△ADC;
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB延长线上一点,且BD=BC,CE⊥CD交AB于E.(1)求证:△ACE∽△ADC;(2)若BE:EA=3:2,求sin∠A的...
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB延长线上一点,且BD=BC,CE⊥CD交AB于E.
(1)求证:△ACE∽△ADC;
(2)若BE:EA=3:2,求sin∠A的值.求完整解答 展开
(1)求证:△ACE∽△ADC;
(2)若BE:EA=3:2,求sin∠A的值.求完整解答 展开
2个回答
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(1)由于CE⊥CD,即∠ECD=90°,
因为∠ECD=∠ECB+∠BCD,∠ACB=∠ACE+∠ECB,
又因为 ∠ECD=90°= ∠ACB,
则∠BCD=∠ACE,
因为BD=BC,所以三角形CBD为等腰三角形,则∠BCD=∠BDC,
所以∠ACE=∠BDC,
因为∠A=∠CAE=∠DAC,
则三角形ACE相似于ADC
(2)设BE为3a,BD为b,则EA=2a,AB=5a,BC=b,a>0,b>0
由于三角形ACE相似于ADC,
则 AE/AC=AC/AD,即:AC^2=AE*AD,
由于∠ACB=90°,AC^2=AB^2-BC^2=(5a)^2-b^2
则:(5a)^2-b^2=(2a)*(5a+b),则(3a-b)*(5a+b)=0,
由于a>0,b>0,则3a-b=0,即b=3a,
由于∠ACB=90°,则sina∠A=BC/AB=b/5a=3a/5a=3/5
因为∠ECD=∠ECB+∠BCD,∠ACB=∠ACE+∠ECB,
又因为 ∠ECD=90°= ∠ACB,
则∠BCD=∠ACE,
因为BD=BC,所以三角形CBD为等腰三角形,则∠BCD=∠BDC,
所以∠ACE=∠BDC,
因为∠A=∠CAE=∠DAC,
则三角形ACE相似于ADC
(2)设BE为3a,BD为b,则EA=2a,AB=5a,BC=b,a>0,b>0
由于三角形ACE相似于ADC,
则 AE/AC=AC/AD,即:AC^2=AE*AD,
由于∠ACB=90°,AC^2=AB^2-BC^2=(5a)^2-b^2
则:(5a)^2-b^2=(2a)*(5a+b),则(3a-b)*(5a+b)=0,
由于a>0,b>0,则3a-b=0,即b=3a,
由于∠ACB=90°,则sina∠A=BC/AB=b/5a=3a/5a=3/5
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解:(1)∵BD=BC,
∴∠DCB=∠D
又∵CE⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠DCB+∠BCE=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠D=∠DCB=∠ACE又∵∠A=∠A
∴△ACE∽△ADC
(2)∵∠DCB+∠BCE=90°,∠D+∠DEC=90°,又∠DCB=∠D,
∴∠BCE=∠BEC,
∴BE=BC.
BE:EA=3:2,令BE=3k,EA=2k,
在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3k,AB=5k
∴sin∠A=BC比AB=3比5
∴∠DCB=∠D
又∵CE⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠DCB+∠BCE=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠D=∠DCB=∠ACE又∵∠A=∠A
∴△ACE∽△ADC
(2)∵∠DCB+∠BCE=90°,∠D+∠DEC=90°,又∠DCB=∠D,
∴∠BCE=∠BEC,
∴BE=BC.
BE:EA=3:2,令BE=3k,EA=2k,
在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3k,AB=5k
∴sin∠A=BC比AB=3比5
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