已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左右焦点,点P在C上,角F1PF2=60度,则|PF1|乘|PF2|
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由双曲线方程x^2-y^2=1,得:c=√(1+1)=√2,∴双曲线的焦点坐标是:
F1(-√2,0)、F2(√2,0)。
令点P的坐标为(m,n)。则:
向量PF1=(-√2-m,-n)、向量PF2=(√2-m,-n)。
∴向量PF1·向量PF2=m^2-2+n^2,
|向量PF1|=√[(√2+m)^2+n^2]、|向量PF2|=√[(√2-m)^2+n^2],
又cos∠F1PF2=向量PF1·向量PF2/(|向量PF1||向量PF2|),
∴cos60°=(m^2-2+n^2)/√{[(√2+m)^2+n^2][(√2-m)^2+n^2]},
∴2(m^2-2+n^2)=√{[(√2+m)^2+n^2][(√2-m)^2+n^2]},
∴4(m^2+n^2-2)^2=(m^2+n^2+2)^2-(2√2m)^2,
∴8m^2=[(m^2+n^2+2)+(m^2+n^2-2)][(m^2+n^2+2)-(m^2+n^2-2)],
∴8m^2=2(m^2+n^2)×4=8m^2+8n^2,
∴n=0。
∵P(m,n)在双曲线上,∴m^2-n^2=1,∴当n=0时,m^2=1。
∴|PF1||PF2|=√{[(√2+m)^2+n^2][(√2-m)^2+n^2]}
=√[(m^2+n^2+2)^2-(2√2m)^2]=√[1+2)^2-8]=1。
即:|PF1||PF2|=1。
F1(-√2,0)、F2(√2,0)。
令点P的坐标为(m,n)。则:
向量PF1=(-√2-m,-n)、向量PF2=(√2-m,-n)。
∴向量PF1·向量PF2=m^2-2+n^2,
|向量PF1|=√[(√2+m)^2+n^2]、|向量PF2|=√[(√2-m)^2+n^2],
又cos∠F1PF2=向量PF1·向量PF2/(|向量PF1||向量PF2|),
∴cos60°=(m^2-2+n^2)/√{[(√2+m)^2+n^2][(√2-m)^2+n^2]},
∴2(m^2-2+n^2)=√{[(√2+m)^2+n^2][(√2-m)^2+n^2]},
∴4(m^2+n^2-2)^2=(m^2+n^2+2)^2-(2√2m)^2,
∴8m^2=[(m^2+n^2+2)+(m^2+n^2-2)][(m^2+n^2+2)-(m^2+n^2-2)],
∴8m^2=2(m^2+n^2)×4=8m^2+8n^2,
∴n=0。
∵P(m,n)在双曲线上,∴m^2-n^2=1,∴当n=0时,m^2=1。
∴|PF1||PF2|=√{[(√2+m)^2+n^2][(√2-m)^2+n^2]}
=√[(m^2+n^2+2)^2-(2√2m)^2]=√[1+2)^2-8]=1。
即:|PF1||PF2|=1。
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