Question

线性代数 R(A)<=R（A,b）<=R(A)+1

R(A)<=R（A,b）<=R(A)+1
这个结论背的挺熟的，但是怎么来的？
可以演示下吗？

Answer 1

秩就是极大线性无关组中列向量的个数
A --> A,b，你多了一个列，极大线性无关组的向量个数不可能减少吧，秩当然不会减少，因此R(A) <= R(A,b)很显然
但是你只加了一列，极大线性无关组至多也就加入你这个新加入的b，因此秩最多掖只可能增加1，所以R(A,b) <= R(A)+1也很显然
只要你知道秩是什么，这些结论不都很显然么？！

Answer 2

设A= (a1,...,an), 则有
1. 若b可由a1,...,an线性表示, 则 r(A,b) = r(A)
此时方程组 AX=b有解, 即方程组 x1a1+...xnan = b 有解.

2. 若b不可由a1,...,an线性表示, 则 r(A,b) = r(A)+1
此时 a1,...,an 的极大无关组添加向量b后 是a1,...,an,b 的一个极大无关组

Answer 3

你写的是方程AX=b 系数阵的秩小于等于增广阵的秩。是吧。这个主要用来判断方程组是否有解，以及是唯一解还是无穷解的。

追问

这个的背景是：
一个矩阵的去掉一行或者一列，得到的新矩阵和原来矩阵秩的比较。
；主要是R（A,b）<=R(A)+1这个关系不太明白。

追答

A,b是啥意思，是矩阵A和列向量b乘积？还是在A后面添一个列向量b？

追问

添加一个列

追答

举个例子吧，如果原来A是n*n的可逆阵，则秩为n，那么加一列，变长n*(n+1)阵，那么RA还是n；如果A原来是n*(n-1)阵，则秩为n-1。那么加一列变成n*n阵秩为n