Question

求证½（a²+b²）≥[½（a+b）]²求大神

Answer 1

1、½（a²+b²）

2、[½（a+b）]²＝ 1/4（a²+b²）+1/2ab
1、2都乘以4减去a²+b²即1、2比较大小与a²+b²和2ab比较大小同等，

如果a、b有一个是正数，一个是负数，必然a2+b²＞2ab即½（a²+b²）＞[½（a+b）]²；

如果a、b有一个为0，必然a²+b²＞2ab即½（a²+b²）＞[½（a+b）]²；

如果a、b绝对值相等a²+b²＝2ab即½（a²+b²）＝[½（a+b）]²；

　　如果a、b绝对值不相等，a²+b²-2ab＝（a-b）²＞0也就是说a2+b²＞2ab即½（a²+b²）＞[½（a+b）]²。

综上所述½（a²+b²）≥[½（a+b）]²成立。

Answer 2

证明：因为(a-b)^2>=0
所以a^2+b^2-2ab>=0
所以2a^2+2b^2>=a^2+b^2+2ab
2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
1/2(a^2+b^2)>=1/4(a+b)^2
所以1/2(a^2+b^2)>=[1/2(a+b)]^2