Question

设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)=f(b),但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内 是必有最大值或者最小值 求原因？

答案是其次的，主要是过程，越详细越好！

Answer 1

这个是一个定理来的，高等数学中的罗尔定理 ：  

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；

（2）在开区间(a,b)内可导；

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. 

f'(ξ)=0.是函数的斜率（也称导数），等于0且连续说明有最大值或最小值 曲线中的凸点或凹点

这就很明了啊，以后做些证明题 考研什么的会用上的 平时就理解。给你上个图吧，

Answer 2

根据实数理论可以推出连续函数的性质
即闭区间上的连续函数必存在最大值和最小值
而此题中f(x)在两端点处不能同时取得最大值和最小值
故在开区间上必可取得最大值或最小值
实数理论和闭区间上连续函数的性质的证明比较复杂，请参考高数“极限续论”一章