Question

在三角形ABC中,角ABC=60度,角ACB=40度,P为角ABC平分线与角ACB平分线交点,求证,AB=PC

50分求解！

Answer 1

∵∠ABC＝60°、∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－60°－40°＝80

∵∠PBC＝∠ABC/2＝60°/2＝30°、∠PCB＝∠ACB/2＝40°/2＝20°

∴∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－30°－20°＝130°

在△ABC中，由正弦定理，有：AB/sin∠ACB＝BC/sin∠BAC

在△PBC中，由正弦定理，有：PC/sin∠PBC＝BC/sin∠BPC

∴（AB/sin∠ACB）/（PC/sin∠PBC）＝（BC/sin∠BAC）/（BC/sin∠BPC）

∴（AB/PC）（sin∠PBC/sin∠ACB）＝sin∠BPC/sin∠BAC

∴（AB/PC）（sin30°/sin40°）＝sin130°/sin80°

∴AB/PC＝sin40°sin130°/（sin30°sin80°）

∴AB/PC＝2sin40°sin（90°＋40°）/sin80°

∴AB/PC＝2sin40°cos40°/（2sin40°cos40°）

＝1

∴AB＝PC。

找规律的方法：

找规律填数字，或者说图形找规律，开始大家都是通过一些对比发现其中的规律，可能有些数列三个数就有“规律”出现，不过并不能确定也只能算是猜。一般需要三个以上，包括前后结合对照才能确认规律。

不论是数列找规律还是图形找规律，都需要比较敏锐的观察力。尤其是一些规律藏得较深，需要胆大心细才能发现。最后在填完之后，需要前后结合检验所找的规律是否正确，以免徒劳无功。

Answer 2

∵∠ABC＝60°、∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－60°－40°＝80。
∵∠PBC＝∠ABC/2＝60°/2＝30°、∠PCB＝∠ACB/2＝40°/2＝20°，
∴∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－30°－20°＝130°。

在△ABC中，由正弦定理，有：AB/sin∠ACB＝BC/sin∠BAC。
在△PBC中，由正弦定理，有：PC/sin∠PBC＝BC/sin∠BPC。

∴（AB/sin∠ACB）/（PC/sin∠PBC）＝（BC/sin∠BAC）/（BC/sin∠BPC），
∴（AB/PC）（sin∠PBC/sin∠ACB）＝sin∠BPC/sin∠BAC，
∴（AB/PC）（sin30°/sin40°）＝sin130°/sin80°，
∴AB/PC＝sin40°sin130°/（sin30°sin80°），　∴AB/PC＝2sin40°sin（90°＋40°）/sin80°，
∴AB/PC＝2sin40°cos40°/（2sin40°cos40°）＝1，
∴AB＝PC。

Answer 3

以PC为边作等边三角形PDC，连接AP，AP平分角BAC，可证明A、P、D三点共线，三角形ABC全等于三角形CDA，故AB=CD=PC