Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立。（1）求a的值。（2）求f(x)在区间【1，2】

上的值域。（3）判断方程|f(x)-b|=2b+1的实数根。
谢谢！！！

Answer 1

解：1）由 f(1+x)=f(1-x) 恒成立，说明函数图像的对称轴为 x=1 ，
所以 -a/2=1，解得 a=-2 。
2）因为区间[1，2]在对称轴的右侧，且抛物线开口向上，
所以 函数在[1，2]上为增函数，值域为[f(1)，f(2)]，即 [b-1，b]。
3）方程化为 |x^2-2x|=2b+1，
考察函数 g(x)=|x^2-2x|，在（-∞，0）上，g(x)=x^2-2x 为减函数，
在 （0，1）上，g(x)=2x-x^2 为增函数，
在（1，2）上，g(x)=2x-x^2 为减函数，
在（2，+∞）上，g(x)=x^2-2x 为增函数，
由于 g(0)=g(2)=0，g(1)=1，
所以，当 2b+1<0 即 b<-1/2 时，无实根；
当 2b+1=0 即 b=-1/2 时，有两实根x=0，x=2；
当 0<2b+1<1 即 -1/2<b<0 时，有四个不同实根；
当 2b+1=1 即 b=0 时，有三个不同实根；
当 2b+1>1，即 b>0时，有两个不同实根。

追问

不好意思是（2）求f(x)在区间【-1，2】上的值域。第二问的答案跟第三问有关系吗？？谢谢

追答

f(x)=x^2-2x+b 的对称轴是 x=1 ，在[-1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
且 f(-1)=b+3，f(1)=b-1，f(2)=b，
所以 f(x) 在 [-1，2] 上的值域是 [b-1，b+3] 。

第二问与第三问关系不大。