Question

一道高一数学题有疑问，谢谢！

若方程x+y-6√x+y +3m=0表示两条不重合的直线,求实数m的取值范围。

我虽然知道解是这样：
解：设 ＝t，则原方程变为t2－6t＋3m＝0 (t≥0)，
要使原方程表示两条直线，需方程t2－6t＋3m＝0 (t≥0)有2个相异非负实根，
则有不等式组，
(-6)^2-4*3m>0.....(1)
3m≥0..............(2)

解得：0≤m＜3

但是如果这个方程表示的两条直线一条经过（a,b) ，一条经过（b，a）他们不重合，√a+b =√b+a t1=t2 在这种情况下则不是可以有两个相等的实根吗？？
有认真的解答，我会追加分的

Answer 1

我们反过来分析
当方程有2个相异非负实根t1≠t2时，原方程可表示成
[√(x+y)-t1]*[√(x+y)-t2]=0
即√(x+y)=t1或√(x+y)=t2
x+y-t1²=0或x+y-t2²=0

若直线x+y-t1²=0经过(a,b)，则a+b-t1²=0
即t1²=a+b
若直线x+y-t2²=0经过(b,a)，则b+a-t1²=0
即t2²=a+b
∴t1²=t2²
又t1,t2均非负
∴t1=t2
∴此时x+y-t1²=0和x+y-t2²=0重合

所以实际上经过(a,b)的直线必定经过(b,a)，换句话说就是经过(a,b)和经过(b,a)的直线是同一条直线

追问

不好意思，我又有点糊涂了，到底为什么“要使原方程表示两条直线，需方程t2－6t＋3m＝0 (t≥0)有2个相异非负实根”，方程的根代表的不是两直线的交点吗？

追答

不是交点

直线的一般式为ax+by+c=0
若以上二次式t²-6t+3m=0表示两条直线，则二次式可以因式分解成
(t-t1)(t-t2)=0, t1≠t2
即直线一般式里的c不相等，两条直线平行

追问

那t²-6t-3m=0是如何表示两条直线的？怎样由一般式转化而来呢？为什么t1≠t2就表示一般式里的c不相等？ 不好意思这么多问题，麻烦了，等会儿我给您加分

追答

因为t=x+y
所以t²-6t-3m=0在因式分解后表示为(t-t1)(t-t2)=0
即(x+y-t1)(x+y-t2)=0
故(x+y-t1)=0或(x+y-t2)=0
t1,t2即为两条直线(x+y-t1)=0和(x+y-t2)=0在一般式中的c
所以t1≠t2就表示一般式里的c不相等

Answer 2

首先说一下，高中数学我没做过你这样的题，看了你的解法才知道这个题应该这么做，不过看了你的疑问我倒是有点看法，不一定对，不过现在没人回答，你先看下，希望对你有帮助。M的取值范围你已经确定了，那么如果第一条直线经过（a,b)点，那么在M的取值范围内，第二条直线能不能经过（b，a）点呢？

Answer 3

t1=t2 时是m=3的时候，这就成了同一条直线了撒。你所想的这种情况只能说明两个点都在一条直线上的特殊情况，不可能出现在两条直线上。