Question

在三角形ABC的内角A.B.C所对应的边分别为a.b.c且acosB-bcosA=3/5c.求tan(A-B)的最大值

谢谢大家帮忙

Answer 1

acosB-bcosA=3c/5 把正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R代进去 2RsinAcosB-2RsinBcosA=6RsinC/5 化简sinAcosB-cosAsinB=3/5sin(A+B)=3/5(sinAcosB+cosAsinB) 所以tanA=4tanB tan(A-B) =(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) =3/(1/tanB+4tanB) 分母1/tanB+4tanB≥4 所以tan(A-B)最大值为3/4

Answer 2

（余弦定理）acosB-bcosA=3c/5 a*(a^2+c^2-b^2)/2ac-b*(b^2+c^2-a^2)/2bc=3c/5 (a^2+c^2-b^2-b^2-c^2+a^2)/2c=3c/5 (2a^2-2b^2)/2c=3c/5 a^2-b^2=3c^2/5 tanAcotB=(sinAcosB)/(sinBcosA) =a/b*[(a^2+c^2-b^2)/2ac]/[(b^2+c^2-a^2)/2bc] =4(把a^2-b^2用3c^2/5代掉然后约去c即可） tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 同除tanB =(tanAcotB-1)/(cotB+tanA) =3/(cotB+tanA) 再用均值不等式 答案是3/4