Question

已知定点A（1,0）及圆B:（x＋1）²+y²=16，圆心为B，点P是圆上一动点

已知定点A（1,0）及圆B:（x＋1）²+y²=16，圆心为B，点P是圆上一动点，若线段AP的中垂线交BP与Q，当点P在圆上运动时，求Q的轨迹方程

Answer 1

设 P 点坐标为 (m,n), Q点坐标为 (x,y)

根据题意，|PQ| = |AQ|
(x-m)² + (y-n)² = (x-1)² + y²
化简为
m² - 2xm + n² -2ny = 1 - 2x
引入圆的方程 (m+1)² + n² = 16， 上式化简为
m(1+x) + ny = x + 7

P Q B 在同一直线上,B坐标为 （-1，0），所以
y/(x+1) = n/(m+1)
化为
ym + y = n(x +1)

联立
m(1+x) + ny = x + 7
my - n(x +1) = -y
以 m n 作为未知数 解方程组，解出
m + 1 = 2(x+1)(x+4)/[(x+1)² + y²]
n = 2y(x+4)/[(x+1)² + y²]
Q 与 B 始终不会重合，所以上式中分母不为0， 有意义。

代入圆的方程中
(x+1)²(x+4)² + y²(x+4)² = 4[(x+1)² + y²]²
(x+4)²[(x+1)² + y²] = 4[(x+1)² + y²]²
(x+4)² = 4[(x+1)² + y²]
x² + 8x + 16 = 4x² + 8x + 4 + 4y²
3x² + 4y² = 12
x²/4 + y²/3 = 1