Question

高等代数的证明题..

1.A为正定 B为实对称 证明A+B是正定充要是det(xA-B)=0的根全大于-1

2.设T1 T2是n维线性空间V上的线性变换 则(T1T2)的核=T2的核 充要条件是(T1的核)与(T2的值域)的交际为{0}

Answer 1

1、A正定，则存在非奇异阵G使得A=G^TG，于是det（xA-B)=det(xG^TG-B)=det(G^T)det(xE-G^(-T)BG^(-1))det(G)，故det(xA-B)=0等价于det(xE-G^(-T)BG^(-1))=0，当特征根全大于-1时，即G^(-T)BG^(-1)的特征值全大于-1，于是E+G^(-T)BG^(-1)是正定阵，故A+B=G^T(E+G^(-T)BG^(-1))G是正定阵。反之，倒退回去即可。
2、显然有ker(T2)包含于ker(T1T2)，对任意的x位于Ker(T1T2)，即T1T2x=0，于是T2x属于Ker(T1)，显然同时有T2x位于Im(T2)。若Ker(T1)与Im(T2)交为0，则T2x=0，于是Ker(T1T2）包含于Ker(T2)。反之，若Ker(T1T2)包含于Ker(T2)，要证明Ker(T1)与Im(T2)交为0。设y同时位于Ker(T1)和Im(T2)，即T1y=0，和存在x，使得y=T2x，于是T1T2x=T1y=0，即x位于Ker(T1T2)=Ker(T2)，于是T2x=0，于是y=T2x=0。于是结论成立。