Question

如图，在等腰RT△ABC中，<ACB=90度，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥

如图，在等腰RT△ABC中，<ACB=90度，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE延长线于F
1.求证AD⊥CF
2.连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由

Answer 1

（1）证明：因为BF平行于AC
所以∠BFC=∠FCA(两直线平行内错角相等)
又DE垂直于AB，∠ABC=45°所以∠FBD=45°
所以FB=BD即FB=DC（D为BC中点）
且∠FBC为直角，AC=BC，所以△FBC全等于△DCA（两边及其夹角相等）
所以∠FCB=∠DAC
又∠BFC ∠FCB=90°所以∠DAC ∠FCA=90°
所以AD垂直CF
（2）等腰三角形
因为△FBD为等腰直角三角形，所以E为FD中点，又FD垂直AE
所以△AFC为等腰三角形，所以AF=AD
又由（1）得FC=DA，所以AF=FC
所以△ACF为等腰三角形

Answer 2

解：（1）证明：∵AC∥BF，∠ACB=90°，
∴∠DBF=90°，
∵∠DBE=45°，
∴∠FBE=45°，
∴∠DBE=∠FBE=45°，
又∵∠DBE=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD，
又∴D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，

∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴AD⊥CF；
（2）△ACF是等腰三角形；理由如下：在△ADB和△AFB中，
，
∴△ADB≌△AFB，
∴AF=AD，
∵△BDE≌△BFE，
∴AD=CF，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形。

Answer 3

引用cn#BVVVuauuBB的回答：
（1）证明：因为BF平行于AC
所以∠BFC=∠FCA(两直线平行内错角相等)
又DE垂直于AB，∠ABC=45°所以∠FBD=45°
所以FB=BD即FB=DC（D为BC中点）
且∠FBC为直角，AC=BC，所以△FBC全等于△DCA（两边及其夹角相等）
所以∠FCB=∠DAC
又∠BFC ∠FCB=90°所以∠DAC ∠FCA=90°
所以AD垂直CF
（2）等腰三角形
因为△FBD为等腰直角三角形，所以E为FD中点，又FD垂直AE
所以△AFC为等腰三角形，所以AF=AD
又由（1）得FC=DA，所以AF=FC
所以△ACF为等腰三角形

（1）证明：因为BF平行于AC
所以∠BFC=∠FCA(两直线平行内错角相等)
又DE垂直于AB，∠ABC=45°所以∠FBD=45°
所以FB=BD即FB=DC（D为BC中点）
且∠FBC为直角，AC=BC，所以△FBC全等于△DCA（两边及其夹角相等）
所以∠FCB=∠DAC
又∠BFC ∠FCB=90°所以∠DAC ∠FCA=90°
所以AD垂直CF
（2）等腰三角形
因为△FBD为等腰直角三角形，所以E为FD中点，又FD垂直AE
所以△ADF为等腰三角形，所以AF=AD
又由（1）得FC=DA，所以AF=FC
所以△ACF为等腰三角形

Answer 4

解析
（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．
（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．
解答
(1)证明：在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB=90∘，

∴∠CBA=∠CAB=45∘.

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90∘.

∴∠BDE=45∘.

又∵BF∥AC,

∴∠CBF=90∘.

∴∠BFD=45∘=∠BDE.

∴BF=DB.

又∵D为BC的中点，

∴CD=DB.

即BF=CD.

在△CBF和△ACD中，

⎧⎩⎨⎪⎪BF=CD∠CBF=∠ACD=90∘CB=AC，

∴△CBF≌△ACD(SAS).

∴∠BCF=∠CAD.

又∵∠BCF+∠GCA=90∘，

∴∠CAD+∠GCA=90∘.

即AD⊥CF.

(2)△ACF是等腰三角形，理由为：

连接AF，如图所示，

由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，

∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴BE垂直平分DF，

∴AF=AD，

∵CF=AD，

∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形。

Answer 5

亲，你读几年级吖

追问

八

追答

证明：（1）因为△ABC为等腰直角三角形，那么∠ABC=90度，∠ABC=45度。
DE⊥AB，得出∠EDB=45度。
BF‖AC，得出∠DBF=90度。
那么△DBF为等腰直角三角形。
有BD=BF,AB垂直平分DF，于是AD=AF.
又CD=BD，于是CD=BF,
同时有AC=BC,∠ACB=∠CBF=90度。
可以证出△ACD全等于△CBF，
得出∠CAD=∠FCB，∠ACG+∠FCB=90度，
因此∠ACG+∠CAD=90度，因此AD⊥CF。
（2）△ACD全等于△CBF，得出AD=CF，
又CF=AF，那么△ACF为等腰三角形。