Question

已知函数=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,∈r求（1）f(x)的最大值时自变量的集合，（2）函数f(x)的单调区间

已知函数=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,∈r求（1）f(x)的最大值时自变量x的集合，（2）函数f(x)的单调增区间.

Answer 1

2sinx cosx=sin2x，所以
f(x)=2sin2x+3cos2x，令u=2x,f(x)=2sinu+3cosu，
下面这个叫做辅助角公式：
2sinu+3cosu=√(2^2+3^2)×[2sinu/√(2^2+3^2)+3cosu/√(2^2+3^2)]
设2/√(2^2+3^2)=cosv，3/√(2^2+3^2)=sinv，这是可以的，因为他满足cosv^2+sinv^2=1，且
-1<cosv<1，-1<sinv<1，（也可以说设v=arctan3/2），
得到f(x)=√(2^2+3^2)×(cosv sinu+sinv cosu）=√(2^2+3^2)×sin(u+v)
当u+v=(2k+1)Pi，k∈Z 时，sin(u+v)=1，f(x)取最大值，为√(2^2+3^2)=√13，
第一小问中，x的集合为{x|x=(2k+1)Pi-arctan3/2，k∈Z}。
对x求导，f'(x)=4cosx-6sinx，
f'(x)的零点是tanx=2/3，可见((2k-1)Pi+arctan2/3,2kPi+arctan2/3）,k∈Z是f(x)的单增区间。