Question

有几个数学问题不懂！谢谢！！

1) 已知f(x)=x^2+k。
(a) 若f(2x+k)-f(2x-k)=x，求k的值。
(b) 由此，或用其他方法，解f(2x+k)-k=f(2x-k)+k。

2) 已知log18=a及log12=b，试以a和b表示log6。

3) 若2x+ky-8=0和x+3y+1=0是两条互相平行的直线的方程，求k的值。

4) 设f(x)=x^2-bx+14，其中b是一个正常数。V(b/2，-2)是y=f(x)的图像的顶点。
(a) 已知g(x)=-f(x+1)+k。y=g(x)的图像与x轴接触于N(n, 0)。
(i) 求k和n的值。
(ii) 解方程f(x)+g(x)=0。

谢谢
麻烦步骤清晰点！谢谢！

Answer 1

1) f(x)=x^2+k,
所以f(2x+k)=(2x+k)^2+k,同理f(2x-k)=(2x-k)^2+k.
若f(2x+k)-f(2x-k)=x，
则(2x+k)^2+k - [(2x-k)^2+k]=k,化简得8kx=x,解得k=1/8.
因为f(2x+k)-k=f(2x-k)+k，
所以(2x+k)^2-k=(2x-k)^2+k.化简得8kx=2k,解得x=1/4.
2) log18=a,log12=b;所以log18+log12=a+b;
所以log（18*12）=a+b;所以log（6^3）=a+b,所以3log6=a+b，解得log6=（a+b）/3
3)因为2x+ky-8=0和x+3y+1=0是两条互相平行的直线的方程，所以2/1=k/3，所以k=6
4）(i) 因为f(x)=x^2-bx+14，其中b是一个正常数
又因为V(b/2，-2)是y=f(x)的图像的顶点
所以f(b/2)=-2,解得b=-8(舍),8
所以f(x)=x^2-8x+14
因为g(x)=-f(x+1)+k
所以g(x)=-[(x+1)^2-8(x+1)+14]+k,化简得g(x)=-x^2+6x-7+k
由题意，y=g(x)的图像与x轴接触于N(n, 0)。
即g（n）=0只有一个解
则6^2-4*（-1）*（k-7）=0,
则k=-2
所以g(x)=-x^2+6x-9
因为g(n)=0
所以-n^2+6n-9=0,解得n=3
所以k=-2,n=3
(ii) 由(i)得f(x)=x^2-8x+14,g(x)=-x^2+6x-9
因为f(x)+g(x)=0
所以-2x+5=0，x=5/2

追问

第四题那里，
6^2-4*（-1）*（k-7）=0 这个我不大懂。

追答

就是一元二次方程中的Δ=0，如一元二次方程ax^2+bx+c=0有唯一解,则Δ=b^2-4ac=0

Answer 2

1)
(a) 将2x+k和2x-k作为自变量带入f（x）=x^2+k，得
（2x+k)^2+k-(2x-k)^2-k=x
4x^2+4xk+k^2-4x^2+4xk-k^2=x
8xk=x
k=1/8
(b) f(x)-k=x^2；f(x)+k=x^2+2k
所以，f(2x+k)-k=（2x+k)^2；f(2x-k)+k=（2x-k)^2+2k
即 (2x+k)^2=(2x-k)^2+2k
4x^2+4xk+k^2=4x^2-4xk+k^2+2k
8xk=2k
x=1/4
2)
a=log18=log(3×6)=log3+log6
b=log12=log(2×6)=log2+log6
所以a+b=2log6+log2+log3=2log6+log(2×3)=2log6+log6=3log6
log6=(a+b)/3
3)
两条直线平行，说明它们的斜率相等
将直线方程变形，得
y=-(2/k)x+8/k；y=-(1/3)x-1/3
即 2/k=1/3
k=6
4)
将V(b/2，-2)代入f(x)=x^2-bx+14，得
-2=(b/2)^2-b^2/2+14
b^2/4-b^2/2+16=0
b^2/4=16
b^2=64
b是正常数，所以b=8
f(x)=x^2-8x+14
(a) (i) g(x)=-f(x+1)+k=-(x+1)^2+8(x+1)-14+k=-x^2-2x-1+8x+8-14+k=-x^2+6x-7+k
y=g(x)的图像与x轴接触于N(n, 0)，即其存在处于x轴上的极值点，
对g(x)求导，得g'(x)=-2x+6
令g'(x)=0，得-2x+6=0，x=3
即，n=3，点N坐标为（3，0）
将其带入g(x)得
-9+18-7+k=0
k=-2
g(x)=-x^2+6x-9
(ii) f(x)+g(x)=x^2-8x+14-x^2+6x-9=-2x+5=0
x=2.5

Answer 3

1.a) f(2x+k)-f(2x-k)=(2x+k)^2+k-(2x-k)^2-k=4x^2+4kx+k^2-4x^2+4kx-k^2=8kx
而f(2x+k)-f(2x-k)=x 所以8kx=x 所以 k=1/8
b) 解f(2x+k)-k=f(2x-k)+k。 即 f(2x+k)-f(2x-k)=2k 而f(2x+k)-f(2x-k)=x
所以2k=x x=1/4
2.a=log18=log(3×6)=log3+log6
b=log12=log(2×6)=log2+log6
所以a+b=2log6+log2+log3=2log6+log(2×3)=2log6+log6=3log6
log6=(a+b)/3

3.两条直线平行 所以 2/1=k/3 k=6
4 y=f(x)=x^2-bx+14 的顶点为 (b/2,(4*14-b^2)/4) 则 （56-b^2）/4=-2
所以 b^2=64 则b=8 或者-8 而b是一个正常数 所以 b=8
a) 所以 f(x)=x^2-8x+14 f(x+1)=(x+1)^2-8(x+1)+14=x^2+2x+1-8x+6=x^2-6x+7
g(x)=-f(x+1)+k=-x^2+6x-7+k y=g(x)的图像与x轴接触于N(n, 0)。
所以 n=-6/(-2)=3 0=-n^2+6n+k-7 =-9+18+k-7 k=-2
也可以Δ=36-4*(-1)(k-7)=36+4k-28=4k+8=0 算出k=-2
所以 g(x)=-x^2+6x-7+k=-x^2+6x-9
f(x)+g(x)=x^2-8x+14-x^2+6x-9=-2x+5=0
x=2.5

Answer 4

1）(a)f(2x+k)=(2x+k)²+k, f(2x-k)=(2x-k)²+k
f(2x+k)-f(2x-k)=[(2x+k)²+k]-[(2x-k)²+k]=x,即
8kx=x得k=1/8
(b)把k代进去解方程就行了
2）a=log18=2log3+log2, b=log12=log3+2log2
log6=log2+log3=(a+b)/3
3)k×1=2×3
k=6

Answer 5

1)（a)k=1/8 (b)x=1/4第二题鉴于未给出底数，无法求解
3 ) k=6
4) 1) k=2√2-1或-2√2-1 n=4±√2 第二题我算出根号下的根号，没求出来

Answer 6

第一题用a^2-b^2=(a+b)(a-b)就可以算出来，第二题看三楼的，很清楚，第三题关健是求斜率，关于方程Ax+By+C=Z,斜率为-A/B,两直线斜率相等即平行或重合。