如图,AB为⊙O的直径,点M为半圆的中点,点P为另一半圆上一点(不与A、B重合),点I为△ABP的内心,IN⊥B
如图,AB为⊙O的直径,点M为半圆的中点,点P为另一半圆上一点(不与A、B重合),点I为△ABP的内心,IN⊥BP于N,下列结论:①∠APM=45°;②AB=2IM;③∠...
如图,AB为⊙O的直径,点M为半圆的中点,点P为另一半圆上一点(不与A、B重合),点I为△ABP的内心,IN⊥BP于N,下列结论:①∠APM=45°;②AB=2IM;③∠BIM=∠BAP;④IN+OBPM=22.A.1个B.2个C.3个D.4个
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解答:解:①如图,连接OM.
∵点M是半圆的中点,
∴∠AOM=90°.
又∠APM=
∠AOM,
∴∠APM=45°;
故本选项正确;
②连接AM、BM.
∵点M是半圆的中点,
∴AM=BM,
∴AB=
MB.
设∠ABI=α,则∠MIB=45°+∠PBI=45°+α=∠MBI,
∴MB=IM.
∴AB=
IM;
故本选项正确;
③设∠PBA=β.
∵点I为△ABP的内心,
∴PI、BI分别是∠APB、∠ABP的角平分线,
∴∠PIB=∠PIN+(90°-
β)=135°-
β.
若∠BIM=∠BAP,则有∠BIM+∠PIB=∠BAP+∠PIB=90°-β+135°-
β=180°,
∴β=30°.
∵P点是圆上一动点,
∴不能保证∠PBA=30°;
∴∠BIM与∠BAP不一定相等.
故本选项错误;
④根据直角三角形内切圆半径公式知,IN=
,则IN+OB=
(AP+BP),
折弦求和得,AP+BP=
PM,
∴
=
;
故本选项正确;
综上所述,正确的结论有3个.
故选C.
∵点M是半圆的中点,
∴∠AOM=90°.
又∠APM=
1 |
2 |
∴∠APM=45°;
故本选项正确;
②连接AM、BM.
∵点M是半圆的中点,
∴AM=BM,
∴AB=
2 |
设∠ABI=α,则∠MIB=45°+∠PBI=45°+α=∠MBI,
∴MB=IM.
∴AB=
2 |
故本选项正确;
③设∠PBA=β.
∵点I为△ABP的内心,
∴PI、BI分别是∠APB、∠ABP的角平分线,
∴∠PIB=∠PIN+(90°-
1 |
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1 |
2 |
若∠BIM=∠BAP,则有∠BIM+∠PIB=∠BAP+∠PIB=90°-β+135°-
1 |
2 |
∴β=30°.
∵P点是圆上一动点,
∴不能保证∠PBA=30°;
∴∠BIM与∠BAP不一定相等.
故本选项错误;
④根据直角三角形内切圆半径公式知,IN=
AP+BP?AB |
2 |
1 |
2 |
折弦求和得,AP+BP=
2 |
∴
IN+OB |
PM |
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2 |
故本选项正确;
综上所述,正确的结论有3个.
故选C.
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